MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0z 17775
Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0z.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t · = (.g𝐺)
mulgnn0z.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0z ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgnn0z
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11496 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
3 mulgnn0z.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgnn0z.o . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
53, 4mndidcl 17516 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → 0𝐵)
6 eqid 2771 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
7 mulgnn0z.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
8 eqid 2771 . . . . . 6 seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 })) = seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))
93, 6, 7, 8mulgnn 17755 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 0𝐵) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
102, 5, 9syl2anr 584 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
113, 6, 4mndlid 17519 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
125, 11mpdan 667 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
1312adantr 466 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
14 simpr 471 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
15 nnuz 11925 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15syl6eleq 2860 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
175adantr 466 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0𝐵)
18 elfznn 12577 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
19 fvconst2g 6611 . . . . . 6 (( 0𝐵𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2017, 18, 19syl2an 583 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2113, 16, 20seqid3 13052 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁) = 0 )
2210, 21eqtrd 2805 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
23 oveq1 6800 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 0 ) = (0 · 0 ))
243, 4, 7mulg0 17754 . . . . 5 ( 0𝐵 → (0 · 0 ) = 0 )
255, 24syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (0 · 0 ) = 0 )
2623, 25sylan9eqr 2827 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
2722, 26jaodan 942 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
281, 27sylan2b 581 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4316   × cxp 5247  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139  cn 11222  0cn0 11494  cuz 11888  ...cfz 12533  seqcseq 13008  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Mndcmnd 17502  .gcmg 17748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mulg 17749
This theorem is referenced by:  mulgz  17776  mulgnn0ass  17786  odmodnn0  18166  mulgmhm  18440  srg1expzeq1  18747  lply1binomsc  19892  tsmsxp  22178
  Copyright terms: Public domain W3C validator