MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0di 18438
Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m · = (.g𝐺)
mulgdi.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0di ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgnn0di
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 18415 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 mulgdi.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgdi.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
53, 4mndcl 17509 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
653expb 1113 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
72, 6sylan 569 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
8 simpll 750 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ CMnd)
93, 4cmncom 18416 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
1093expb 1113 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
118, 10sylan 569 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
123, 4mndass 17510 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
132, 12sylan 569 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
14 simpr 471 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
15 nnuz 11925 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15syl6eleq 2860 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
17 simplr2 1262 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
18 elfznn 12577 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
19 fvconst2g 6611 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
2017, 18, 19syl2an 583 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
2117adantr 466 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑋𝐵)
2220, 21eqeltrd 2850 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) ∈ 𝐵)
23 simplr3 1264 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑌𝐵)
24 fvconst2g 6611 . . . . . 6 ((𝑌𝐵𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
2523, 18, 24syl2an 583 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
2623adantr 466 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑌𝐵)
2725, 26eqeltrd 2850 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐵)
283, 4mndcl 17509 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
292, 17, 23, 28syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
30 fvconst2g 6611 . . . . . 6 (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
3129, 18, 30syl2an 583 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
3220, 25oveq12d 6811 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)) = (𝑋 + 𝑌))
3331, 32eqtr4d 2808 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)))
347, 11, 13, 16, 22, 27, 33seqcaopr 13045 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
35 mulgdi.m . . . . 5 · = (.g𝐺)
36 eqid 2771 . . . . 5 seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})) = seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))
373, 4, 35, 36mulgnn 17755 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
3814, 29, 37syl2anc 573 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
39 eqid 2771 . . . . . 6 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
403, 4, 35, 39mulgnn 17755 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
4114, 17, 40syl2anc 573 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
42 eqid 2771 . . . . . 6 seq1( + , (ℕ × {𝑌})) = seq1( + , (ℕ × {𝑌}))
433, 4, 35, 42mulgnn 17755 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
4414, 23, 43syl2anc 573 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
4541, 44oveq12d 6811 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
4634, 38, 453eqtr4d 2815 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
471ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
48 simplr2 1262 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑋𝐵)
49 simplr3 1264 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑌𝐵)
5047, 48, 49, 28syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
51 eqid 2771 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
523, 51, 35mulg0 17754 . . . . 5 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g𝐺))
5350, 52syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g𝐺))
54 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5554, 51mndidcl 17516 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
5654, 4, 51mndlid 17519 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
5755, 56mpdan 667 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
581, 57syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
5958ad2antrr 705 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
6053, 59eqtr4d 2808 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = ((0g𝐺) + (0g𝐺)))
61 simpr 471 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
6261oveq1d 6808 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (0 · (𝑋 + 𝑌)))
6361oveq1d 6808 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
643, 51, 35mulg0 17754 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
6548, 64syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
6663, 65eqtrd 2805 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0g𝐺))
6761oveq1d 6808 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
683, 51, 35mulg0 17754 . . . . . 6 (𝑌𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g𝐺))
6949, 68syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑌) = (0g𝐺))
7067, 69eqtrd 2805 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0g𝐺))
7166, 70oveq12d 6811 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((0g𝐺) + (0g𝐺)))
7260, 62, 713eqtr4d 2815 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
73 simpr1 1233 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
74 elnn0 11496 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
7573, 74sylib 208 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
7646, 72, 75mpjaodan 943 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4316   × cxp 5247  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139  cn 11222  0cn0 11494  cuz 11888  ...cfz 12533  seqcseq 13008  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Mndcmnd 17502  .gcmg 17748  CMndccmn 18400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mulg 17749  df-cmn 18402
This theorem is referenced by:  mulgdi  18439  mulgmhm  18440
  Copyright terms: Public domain W3C validator