Theorem mulgnn0cl 17766

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnncl.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		eqid 2771	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		ssid 3773	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ⊆ 𝐵)
7	1, 3	mndcl 17509	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
8		eqid 2771	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	1, 8	mndidcl 17516	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	mulgnn0subcl 17762	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℕ₀cn0 11494  Basecbs 16064  +_gcplusg 16149  0_gc0g 16308  Mndcmnd 17502  ._gcmg 17748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mulg 17749

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  17779  mulgnn0ass  17786  mhmmulg  17791  pwsmulg  17795  odmodnn0  18166  mulgmhm  18440  srgmulgass  18739  srgpcomp  18740  srgpcompp  18741  srgpcomppsc  18742  srgbinomlem1  18748  srgbinomlem2  18749  srgbinomlem4  18751  srgbinomlem  18752  lmodvsmmulgdi  19108  assamulgscmlem2  19564  mplcoe5lem  19682  mplcoe5  19683  psrbagev1  19725  evlslem3  19729  ply1moncl  19856  coe1pwmul  19864  ply1coefsupp  19880  ply1coe  19881  gsummoncoe1  19889  lply1binomsc  19892  evl1expd  19924  evl1scvarpw  19942  evl1scvarpwval  19943  evl1gsummon  19944  pmatcollpwscmatlem1  20814  mply1topmatcllem  20828  mply1topmatcl  20830  pm2mpghm  20841  monmat2matmon  20849  pm2mp  20850  chpscmatgsumbin  20869  chpscmatgsummon  20870  chfacfscmulcl  20882  chfacfscmul0  20883  chfacfpmmulcl  20886  chfacfpmmul0  20887  cpmadugsumlemB  20899  cpmadugsumlemC  20900  cpmadugsumlemF  20901  cayhamlem2  20909  cayhamlem4  20913  deg1pw  24100  plypf1  24188  lgsqrlem2  25293  lgsqrlem3  25294  lgsqrlem4  25295  omndmul2  30052  omndmul3  30053  omndmul  30054  isarchi2  30079  hbtlem4  38222  lmodvsmdi  42691  ply1mulgsumlem4  42705  ply1mulgsum  42706