MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnegnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnegnn 17772
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m · = (.g𝐺)
mulgnegnn.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnegnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnegnn
StepHypRef Expression
1 nncn 11240 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21negnegd 10595 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 = 𝑁)
32adantr 472 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → --𝑁 = 𝑁)
43fveq2d 6357 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
54fveq2d 6357 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
6 nnnegz 11592 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
7 mulg1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
9 eqid 2760 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
10 mulgnegnn.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
11 mulg1.m . . . . 5 · = (.g𝐺)
12 eqid 2760 . . . . 5 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
137, 8, 9, 10, 11, 12mulgval 17764 . . . 4 ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
146, 13sylan 489 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
15 nnne0 11265 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
16 negeq0 10547 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
1716necon3abid 2968 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
1915, 18mpbid 222 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ -𝑁 = 0)
2019iffalsed 4241 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))))
21 nnre 11239 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221renegcld 10669 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
23 nngt0 11261 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
2421lt0neg2d 10810 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
2523, 24mpbid 222 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 < 0)
26 0re 10252 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
27 ltnsym 10347 . . . . . . . 8 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
2826, 27mpan2 709 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
2922, 25, 28sylc 65 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 0 < -𝑁)
3029iffalsed 4241 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3120, 30eqtrd 2794 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3231adantr 472 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3314, 32eqtrd 2794 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
347, 8, 11, 12mulgnn 17768 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
3534fveq2d 6357 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
365, 33, 353eqtr4d 2804 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804   × cxp 5264  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   < clt 10286  -cneg 10479  cn 11232  cz 11589  seqcseq 13015  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  invgcminusg 17644  .gcmg 17761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-z 11590  df-seq 13016  df-mulg 17762
This theorem is referenced by:  mulgsubcl  17776  mulgneg  17781  mulgneg2  17796  cnfldmulg  20000  tgpmulg  22118  xrsmulgzz  30008  archiabllem1b  30076
  Copyright terms: Public domain W3C validator