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Theorem mulgneg2 17776
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgneg2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgneg2.m · = (.g𝐺)
mulgneg2.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgneg2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg2
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 negeq 10465 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → -𝑥 = -0)
2 neg0 10519 . . . . . . 7 -0 = 0
31, 2syl6eq 2810 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → -𝑥 = 0)
43oveq1d 6828 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (-𝑥 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
5 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (0 · (𝐼𝑋)))
64, 5eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼𝑋))))
7 negeq 10465 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → -𝑥 = -𝑛)
87oveq1d 6828 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑛 · 𝑋))
9 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑛 · (𝐼𝑋)))
108, 9eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋))))
11 negeq 10465 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → -𝑥 = -(𝑛 + 1))
1211oveq1d 6828 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (-𝑥 · 𝑋) = (-(𝑛 + 1) · 𝑋))
13 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)))
1412, 13eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋))))
15 negeq 10465 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑛 → -𝑥 = --𝑛)
1615oveq1d 6828 . . . . 5 (𝑥 = -𝑛 → (-𝑥 · 𝑋) = (--𝑛 · 𝑋))
17 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑥 = -𝑛 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (-𝑛 · (𝐼𝑋)))
1816, 17eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = -𝑛 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋))))
19 negeq 10465 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
2019oveq1d 6828 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 · 𝑋) = (-𝑁 · 𝑋))
21 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
2220, 21eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((-𝑥 · 𝑋) = (𝑥 · (𝐼𝑋)) ↔ (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋))))
23 mulgneg2.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
24 eqid 2760 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
25 mulgneg2.m . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
2623, 24, 25mulg0 17747 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2726adantl 473 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
28 mulgneg2.i . . . . . . 7 𝐼 = (invg𝐺)
2923, 28grpinvcl 17668 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
3023, 24, 25mulg0 17747 . . . . . 6 ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
3129, 30syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
3227, 31eqtr4d 2797 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · (𝐼𝑋)))
33 oveq1 6820 . . . . . 6 ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
34 nn0cn 11494 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
3534adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
36 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
37 negdi 10530 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
3835, 36, 37sylancl 697 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -(𝑛 + 1) = (-𝑛 + -1))
3938oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 + -1) · 𝑋))
40 simpll 807 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
41 nn0negz 11607 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → -𝑛 ∈ ℤ)
4241adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -𝑛 ∈ ℤ)
43 1z 11599 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
44 znegcl 11604 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℤ)
46 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
47 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4823, 25, 47mulgdir 17774 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑛 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(-1 · 𝑋)))
4940, 42, 45, 46, 48syl13anc 1479 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 + -1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(-1 · 𝑋)))
5023, 25, 28mulgm1 17763 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (-1 · 𝑋) = (𝐼𝑋))
5150adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1 · 𝑋) = (𝐼𝑋))
5251oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(-1 · 𝑋)) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
5339, 49, 523eqtrd 2798 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
54 grpmnd 17630 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
5554ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
56 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
5729adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
5823, 25, 47mulgnn0p1 17753 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
5955, 56, 57, 58syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
6053, 59eqeq12d 2775 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)) ↔ ((-𝑛 · 𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝑛 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋))))
6133, 60syl5ibr 236 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋))))
6261ex 449 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (-(𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · (𝐼𝑋)))))
63 fveq2 6352 . . . . . 6 ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋))))
64 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
65 nnnegz 11572 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → -𝑛 ∈ ℤ)
6665adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → -𝑛 ∈ ℤ)
67 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
6823, 25, 28mulgneg 17761 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
6964, 66, 67, 68syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (--𝑛 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)))
70 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
7123, 25, 28mulgnegnn 17752 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑛 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋))))
7270, 29, 71syl2anr 496 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (-𝑛 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋))))
7369, 72eqeq12d 2775 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋)) ↔ (𝐼‘(-𝑛 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑛 · (𝐼𝑋)))))
7463, 73syl5ibr 236 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋))))
7574ex 449 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑛 ∈ ℕ → ((-𝑛 · 𝑋) = (𝑛 · (𝐼𝑋)) → (--𝑛 · 𝑋) = (-𝑛 · (𝐼𝑋)))))
766, 10, 14, 18, 22, 32, 62, 75zindd 11670 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋))))
77763impia 1110 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
78773com23 1121 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  -cneg 10459  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  Mndcmnd 17495  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624  .gcmg 17741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mulg 17742
This theorem is referenced by:  mulgass  17780  mulgsubdi  18435  cyggeninv  18485
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