Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgneg 17732
 Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t · = (.g𝐺)
mulgneg.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgneg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 11457 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 simpr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 simpl3 1208 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
4 mulgnncl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 mulgnncl.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
6 mulgneg.i . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
74, 5, 6mulgnegnn 17723 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
82, 3, 7syl2anc 696 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
9 simpl1 1204 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2748 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1110, 6grpinvid 17648 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
129, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
13 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
1413oveq1d 6816 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
15 simpl3 1208 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋𝐵)
164, 10, 5mulg0 17718 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1814, 17eqtrd 2782 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0g𝐺))
1918fveq2d 6344 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g𝐺)))
2013negeqd 10438 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = -0)
21 neg0 10490 . . . . . . . 8 -0 = 0
2220, 21syl6eq 2798 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = 0)
2322oveq1d 6816 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2423, 17eqtrd 2782 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0g𝐺))
2512, 19, 243eqtr4rd 2793 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
268, 25jaodan 861 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
271, 26sylan2b 493 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
28 simpl1 1204 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
29 simprr 813 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
3029nnzd 11644 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
31 simpl3 1208 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋𝐵)
324, 5mulgcl 17731 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3328, 30, 31, 32syl3anc 1463 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
344, 6grpinvinv 17654 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
3528, 33, 34syl2anc 696 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
364, 5, 6mulgnegnn 17723 . . . . . 6 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
3729, 31, 36syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
38 simprl 811 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3938recnd 10231 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
4039negnegd 10546 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
4140oveq1d 6816 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
4237, 41eqtr3d 2784 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
4342fveq2d 6344 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
4435, 43eqtr3d 2784 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
45 simp2 1129 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
46 elznn0nn 11554 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4745, 46sylib 208 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4827, 44, 47mpjaodan 862 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℝcr 10098  0cc0 10099  -cneg 10430  ℕcn 11183  ℕ0cn0 11455  ℤcz 11540  Basecbs 16030  0gc0g 16273  Grpcgrp 17594  invgcminusg 17595  .gcmg 17712 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-seq 12967  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-mulg 17713 This theorem is referenced by:  mulgnegneg  17733  mulgm1  17734  mulgaddcomlem  17735  mulginvcom  17737  mulgz  17740  mulgdirlem  17744  mulgdir  17745  mulgneg2  17747  mulgass  17751  mulgsubdir  17754  cycsubgcl  17792  ghmmulg  17844  odnncl  18135  gexdvds  18170  mulgdi  18403  mulgsubdi  18406  mulgass2  18772  clmmulg  23072  archirngz  30023  archiabllem2c  30029
 Copyright terms: Public domain W3C validator