MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgmhm 18453
Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed positive integer 𝑛 is a monoid homomorphism if the monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgmhm ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 18428 . . . 4 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21adantr 472 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
32, 2jca 555 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd))
4 mulgmhm.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 mulgmhm.m . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
64, 5mulgnn0cl 17779 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
71, 6syl3an1 1167 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
873expa 1112 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
9 eqid 2760 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
108, 9fmptd 6549 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵)
11 3anass 1081 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)))
12 eqid 2760 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
134, 5, 12mulgnn0di 18451 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
1411, 13sylan2br 494 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
1514anassrs 683 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
164, 12mndcl 17522 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
17163expb 1114 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
182, 17sylan 489 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
19 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
20 ovex 6842 . . . . . . 7 (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ V
2119, 9, 20fvmpt 6445 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2218, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
23 oveq2 6822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
24 ovex 6842 . . . . . . . 8 (𝑀 · 𝑦) ∈ V
2523, 9, 24fvmpt 6445 . . . . . . 7 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
26 oveq2 6822 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
27 ovex 6842 . . . . . . . 8 (𝑀 · 𝑧) ∈ V
2826, 9, 27fvmpt 6445 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
2925, 28oveqan12d 6833 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
3029adantl 473 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
3115, 22, 303eqtr4d 2804 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
3231ralrimivva 3109 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
33 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
344, 33mndidcl 17529 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
35 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝑥 = (0g𝐺) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (0g𝐺)))
36 ovex 6842 . . . . . 6 (𝑀 · (0g𝐺)) ∈ V
3735, 9, 36fvmpt 6445 . . . . 5 ((0g𝐺) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (𝑀 · (0g𝐺)))
382, 34, 373syl 18 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (𝑀 · (0g𝐺)))
394, 5, 33mulgnn0z 17788 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g𝐺)) = (0g𝐺))
401, 39sylan 489 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (0g𝐺)) = (0g𝐺))
4138, 40eqtrd 2794 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
4210, 32, 413jca 1123 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (0g𝐺)))
434, 4, 12, 12, 33, 33ismhm 17558 . 2 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺) ↔ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵𝑧𝐵 ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) ∧ ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))))
443, 42, 43sylanbrc 701 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 MndHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cn0 11504  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  Mndcmnd 17515   MndHom cmhm 17554  .gcmg 17761  CMndccmn 18413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-mulg 17762  df-cmn 18415
This theorem is referenced by:  gsummulglem  18561
  Copyright terms: Public domain W3C validator