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Theorem mulginvcom 17773
Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulginvcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulginvcom.t · = (.g𝐺)
mulginvcom.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulginvcom ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulginvcom
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6800 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (0 · (𝐼𝑋)))
2 fvoveq1 6816 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
31, 2eqeq12d 2786 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (0 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋))))
4 oveq1 6800 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑦 · (𝐼𝑋)))
5 fvoveq1 6816 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
64, 5eqeq12d 2786 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
7 oveq1 6800 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)))
8 fvoveq1 6816 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
97, 8eqeq12d 2786 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))
10 oveq1 6800 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (-𝑦 · (𝐼𝑋)))
11 fvoveq1 6816 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑦 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
1210, 11eqeq12d 2786 . . . . 5 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))
13 oveq1 6800 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝑁 · (𝐼𝑋)))
14 fvoveq1 6816 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
1513, 14eqeq12d 2786 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑥 · 𝑋)) ↔ (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
16 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
17 mulginvcom.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invg𝐺)
1816, 17grpinvid 17684 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g𝐺)) = (0g𝐺))
1918eqcomd 2777 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) = (𝐼‘(0g𝐺)))
2019adantr 466 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0g𝐺) = (𝐼‘(0g𝐺)))
21 mulginvcom.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
2221, 17grpinvcl 17675 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
23 mulginvcom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
2421, 16, 23mulg0 17754 . . . . . . 7 ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵 → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · (𝐼𝑋)) = (0g𝐺))
2621, 16, 23mulg0 17754 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2726adantl 467 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2827fveq2d 6336 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(0 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g𝐺)))
2920, 25, 283eqtr4d 2815 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (0 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(0 · 𝑋)))
30 oveq2 6801 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
3130adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
32 grpmnd 17637 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
33323ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
34 simp2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑦 ∈ ℕ0)
35223adant2 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
36 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3721, 23, 36mulgnn0p1 17760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
3833, 34, 35, 37syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)))
39 simp1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
40 nn0z 11602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
41403ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
4221, 23, 36mulgaddcom 17772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4339, 41, 35, 42syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 · (𝐼𝑋))(+g𝐺)(𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4438, 43eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4544adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑦 · (𝐼𝑋))))
4621, 23, 36mulgnn0p1 17760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋))
4732, 46syl3an1 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑦 + 1) · 𝑋) = ((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋))
4847fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)))
4921, 23mulgcl 17767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5040, 49syl3an2 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5121, 36, 17grpinvadd 17701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5250, 51syld3an2 1518 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 · 𝑋)(+g𝐺)𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5348, 52eqtrd 2805 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5453adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝐼‘(𝑦 · 𝑋))))
5531, 45, 543eqtr4d 2815 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))
56553exp1 1445 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝑋𝐵 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
5756com23 86 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋))))))
5857imp 393 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘((𝑦 + 1) · 𝑋)))))
59 nnz 11601 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
60223adant2 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
6121, 23, 17mulgneg 17768 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6260, 61syld3an3 1515 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6362adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6421, 23, 17mulgneg 17768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
6564adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
66 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)))
6765, 66eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = (𝑦 · (𝐼𝑋)))
6867fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · (𝐼𝑋))))
6963, 68eqtr4d 2808 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))
70693exp1 1445 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
7170com23 86 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋))))))
7271imp 393 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
7359, 72syl5 34 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑦 · 𝑋)) → (-𝑦 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(-𝑦 · 𝑋)))))
743, 6, 9, 12, 15, 29, 58, 73zindd 11680 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋))))
7574ex 397 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
7675com23 86 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑋𝐵 → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))))
77763imp 1101 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  -cneg 10469  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Mndcmnd 17502  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  .gcmg 17748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mulg 17749
This theorem is referenced by:  mulginvinv  17774
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