Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgfvi 17766
 Description: The group multiple operation is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mulgfvi.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgfvi · = (.g‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem mulgfvi
StepHypRef Expression
1 mulgfvi.t . 2 · = (.g𝐺)
2 fvi 6418 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
32eqcomd 2766 . . . 4 (𝐺 ∈ V → 𝐺 = ( I ‘𝐺))
43fveq2d 6357 . . 3 (𝐺 ∈ V → (.g𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
5 fvprc 6347 . . . 4 𝐺 ∈ V → (.g𝐺) = ∅)
6 fvprc 6347 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
76fveq2d 6357 . . . . 5 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = (.g‘∅))
8 base0 16134 . . . . . . . 8 ∅ = (Base‘∅)
9 eqid 2760 . . . . . . . 8 (.g‘∅) = (.g‘∅)
108, 9mulgfn 17765 . . . . . . 7 (.g‘∅) Fn (ℤ × ∅)
11 xp0 5710 . . . . . . . 8 (ℤ × ∅) = ∅
1211fneq2i 6147 . . . . . . 7 ((.g‘∅) Fn (ℤ × ∅) ↔ (.g‘∅) Fn ∅)
1310, 12mpbi 220 . . . . . 6 (.g‘∅) Fn ∅
14 fn0 6172 . . . . . 6 ((.g‘∅) Fn ∅ ↔ (.g‘∅) = ∅)
1513, 14mpbi 220 . . . . 5 (.g‘∅) = ∅
167, 15syl6eq 2810 . . . 4 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = ∅)
175, 16eqtr4d 2797 . . 3 𝐺 ∈ V → (.g𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
184, 17pm2.61i 176 . 2 (.g𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺))
191, 18eqtri 2782 1 · = (.g‘( I ‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ∅c0 4058   I cid 5173   × cxp 5264   Fn wfn 6044  ‘cfv 6049  ℤcz 11589  .gcmg 17761 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-neg 10481  df-z 11590  df-seq 13016  df-slot 16083  df-base 16085  df-mulg 17762 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator