MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgcl 17767
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgcl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulgnncl.t . 2 · = (.g𝐺)
3 eqid 2771 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 id 22 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
5 ssid 3773 . . 3 𝐵𝐵
65a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵𝐵)
71, 3grpcl 17638 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
8 eqid 2771 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
91, 8grpidcl 17658 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
10 eqid 2771 . 2 (invg𝐺) = (invg𝐺)
111, 10grpinvcl 17675 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
121, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11mulgsubcl 17763 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cfv 6031  (class class class)co 6793  cz 11579  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  .gcmg 17748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mulg 17749
This theorem is referenced by:  mulgneg  17768  mulgnegneg  17769  mulgaddcomlem  17771  mulgaddcom  17772  mulginvcom  17773  mulgdirlem  17780  mulgdir  17781  mulgass  17787  mulgmodid  17789  mulgsubdir  17790  cycsubgcl  17828  ghmmulg  17880  odmod  18172  odcong  18175  odmulgid  18178  odmulg  18180  odmulgeq  18181  odbezout  18182  odf1  18186  dfod2  18188  odf1o2  18195  gexdvds  18206  mulgdi  18439  mulgghm  18441  mulgsubdi  18442  odadd2  18459  gexexlem  18462  iscyggen2  18490  cyggenod  18493  iscyg3  18495  ablfacrp  18673  pgpfac1lem2  18682  pgpfac1lem3a  18683  pgpfac1lem3  18684  pgpfac1lem4  18685  mulgass2  18809  mulgghm2  20060  mulgrhm  20061  zlmlmod  20086  cygznlem2a  20131  zrhpsgnelbas  20156  isarchi3  30081  archirng  30082  archirngz  30083  archiabllem1a  30085  archiabllem2c  30089  isarchiofld  30157
  Copyright terms: Public domain W3C validator