Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mule1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mule1 24919
 Description: The Möbius function takes on values in magnitude at most 1. (Together with mucl 24912, this implies that it takes a value in {-1, 0, 1} for every positive integer.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
mule1 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)

Proof of Theorem mule1
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 muval 24903 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) = if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
2 iftrue 4125 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 0)
31, 2sylan9eq 2705 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = 0)
43fveq2d 6233 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘0))
5 abs0 14069 . . . 4 (abs‘0) = 0
6 0le1 10589 . . . 4 0 ≤ 1
75, 6eqbrtri 4706 . . 3 (abs‘0) ≤ 1
84, 7syl6eqbr 4724 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
9 iffalse 4128 . . . . . 6 (¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴 → if(∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴, 0, (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
101, 9sylan9eq 2705 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (μ‘𝐴) = (-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
1110fveq2d 6233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))))
12 neg1cn 11162 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
13 prmdvdsfi 24878 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin)
14 hashcl 13185 . . . . . . . 8 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0)
16 absexp 14088 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℕ0) → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
1712, 15, 16sylancr 696 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})))
18 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
1918absnegi 14183 . . . . . . . . 9 (abs‘-1) = (abs‘1)
20 abs1 14081 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
2119, 20eqtri 2673 . . . . . . . 8 (abs‘-1) = 1
2221oveq1i 6700 . . . . . . 7 ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = (1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))
2315nn0zd 11518 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ)
24 1exp 12929 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℤ → (1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2622, 25syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘-1)↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})) = 1)
2717, 26eqtrd 2685 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 1)
2827adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(-1↑(#‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))) = 1)
2911, 28eqtrd 2685 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) = 1)
30 1le1 10693 . . 3 1 ≤ 1
3129, 30syl6eqbr 4724 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝↑2) ∥ 𝐴) → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
328, 31pm2.61dan 849 1 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝐴)) ≤ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942  {crab 2945  ifcif 4119   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   ≤ cle 10113  -cneg 10305  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ↑cexp 12900  #chash 13157  abscabs 14018   ∥ cdvds 15027  ℙcprime 15432  μcmu 24866 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433  df-mu 24872 This theorem is referenced by:  dchrmusum2  25228  dchrvmasumlem3  25233  mudivsum  25264  mulogsumlem  25265  mulog2sumlem2  25269  selberglem2  25280
 Copyright terms: Public domain W3C validator