Theorem mulcomnq 9735

Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq	⊢ (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Proof of Theorem mulcomnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcompq 9734	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·pQ 𝐵) = (𝐵 ·pQ 𝐴)
2	1	fveq2i 6161	. . 3 ⊢ ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴))
3		mulpqnq 9723	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)))
4		mulpqnq 9723	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
5	4	ancoms 469	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
6	2, 3, 5	3eqtr4a 2681	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
7		mulnqf 9731	. . . 4 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6019	. . 3 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
9	8	ndmovcom 6786	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
10	6, 9	pm2.61i 176	1 ⊢ (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   × cxp 5082  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ·_pQ cmpq 9631  Qcnq 9634  [Q]cerq 9636   ·_Q cmq 9638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-ni 9654  df-mi 9656  df-lti 9657  df-mpq 9691  df-enq 9693  df-nq 9694  df-erq 9695  df-mq 9697  df-1nq 9698

This theorem is referenced by:  recmulnq  9746  recrecnq  9749  halfnq  9758  ltrnq  9761  addclprlem1  9798  addclprlem2  9799  mulclprlem  9801  mulclpr  9802  mulcompr  9805  distrlem4pr  9808  1idpr  9811  prlem934  9815  prlem936  9829  reclem3pr  9831  reclem4pr  9832