MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclpi 9675
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 9667 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
2 pinn 9660 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 9660 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnmcl 7652 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
52, 3, 4syl2an 494 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 9659 . . . . . . 7 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
76simprbi 480 . . . . . 6 (𝐵N → ∅ ∈ 𝐵)
87adantl 482 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐵)
93adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐵 ∈ ω)
102adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐴 ∈ ω)
11 elni2 9659 . . . . . . . 8 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
1211simprbi 480 . . . . . . 7 (𝐴N → ∅ ∈ 𝐴)
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐴)
14 nnmordi 7671 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
159, 10, 13, 14syl21anc 1322 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
168, 15mpd 15 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵))
17 ne0i 3903 . . . 4 ((𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅)
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅)
19 elni 9658 . . 3 ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅))
205, 18, 19sylanbrc 697 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ N)
211, 20eqeltrd 2698 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wne 2790  c0 3897  (class class class)co 6615  ωcom 7027   ·𝑜 comu 7518  Ncnpi 9626   ·N cmi 9628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-ni 9654  df-mi 9656
This theorem is referenced by:  mulasspi  9679  distrpi  9680  mulcanpi  9682  ltmpi  9686  enqer  9703  addpqf  9726  mulpqf  9728  adderpqlem  9736  mulerpqlem  9737  addassnq  9740  mulassnq  9741  mulcanenq  9742  distrnq  9743  recmulnq  9746  ltsonq  9751  lterpq  9752  ltanq  9753  ltmnq  9754  ltexnq  9757  archnq  9762
  Copyright terms: Public domain W3C validator