Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclpi 9917
 Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 9909 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
2 pinn 9902 . . . 4 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 9902 . . . 4 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnmcl 7846 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
52, 3, 4syl2an 583 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 9901 . . . . . . 7 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
76simprbi 484 . . . . . 6 (𝐵N → ∅ ∈ 𝐵)
87adantl 467 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐵)
93adantl 467 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐵 ∈ ω)
102adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → 𝐴 ∈ ω)
11 elni2 9901 . . . . . . . 8 (𝐴N ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐴))
1211simprbi 484 . . . . . . 7 (𝐴N → ∅ ∈ 𝐴)
1312adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴N𝐵N) → ∅ ∈ 𝐴)
14 nnmordi 7865 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
159, 10, 13, 14syl21anc 1475 . . . . 5 ((𝐴N𝐵N) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
168, 15mpd 15 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵))
17 ne0i 4069 . . . 4 ((𝐴 ·𝑜 ∅) ∈ (𝐴 ·𝑜 𝐵) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅)
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅)
19 elni 9900 . . 3 ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ≠ ∅))
205, 18, 19sylanbrc 572 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·𝑜 𝐵) ∈ N)
211, 20eqeltrd 2850 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∅c0 4063  (class class class)co 6793  ωcom 7212   ·𝑜 comu 7711  Ncnpi 9868   ·N cmi 9870 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-ni 9896  df-mi 9898 This theorem is referenced by:  mulasspi  9921  distrpi  9922  mulcanpi  9924  ltmpi  9928  enqer  9945  addpqf  9968  mulpqf  9970  adderpqlem  9978  mulerpqlem  9979  addassnq  9982  mulassnq  9983  mulcanenq  9984  distrnq  9985  recmulnq  9988  ltsonq  9993  lterpq  9994  ltanq  9995  ltmnq  9996  ltexnq  9999  archnq  10004
 Copyright terms: Public domain W3C validator