Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulasssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulasssr 10117
 Description: Multiplication of signed reals is associative. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulasssr ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶))

Proof of Theorem mulasssr
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 10084 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 mulsrpr 10103 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3 mulsrpr 10103 . . 3 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R )
4 mulsrpr 10103 . . 3 (((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ([⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)), ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣))⟩] ~R )
5 mulsrpr 10103 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)))), ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))))⟩] ~R )
6 mulclpr 10048 . . . . . 6 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 ·P 𝑧) ∈ P)
7 mulclpr 10048 . . . . . 6 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P)
8 addclpr 10046 . . . . . 6 (((𝑥 ·P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
96, 7, 8syl2an 583 . . . . 5 (((𝑥P𝑧P) ∧ (𝑦P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
109an4s 639 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
11 mulclpr 10048 . . . . . 6 ((𝑥P𝑤P) → (𝑥 ·P 𝑤) ∈ P)
12 mulclpr 10048 . . . . . 6 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P)
13 addclpr 10046 . . . . . 6 (((𝑥 ·P 𝑤) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1411, 12, 13syl2an 583 . . . . 5 (((𝑥P𝑤P) ∧ (𝑦P𝑧P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1514an42s 640 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1610, 15jca 501 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P))
17 mulclpr 10048 . . . . . 6 ((𝑧P𝑣P) → (𝑧 ·P 𝑣) ∈ P)
18 mulclpr 10048 . . . . . 6 ((𝑤P𝑢P) → (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P)
19 addclpr 10046 . . . . . 6 (((𝑧 ·P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
2017, 18, 19syl2an 583 . . . . 5 (((𝑧P𝑣P) ∧ (𝑤P𝑢P)) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
2120an4s 639 . . . 4 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
22 mulclpr 10048 . . . . . 6 ((𝑧P𝑢P) → (𝑧 ·P 𝑢) ∈ P)
23 mulclpr 10048 . . . . . 6 ((𝑤P𝑣P) → (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P)
24 addclpr 10046 . . . . . 6 (((𝑧 ·P 𝑢) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
2522, 23, 24syl2an 583 . . . . 5 (((𝑧P𝑢P) ∧ (𝑤P𝑣P)) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
2625an42s 640 . . . 4 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
2721, 26jca 501 . . 3 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P))
28 vex 3354 . . . 4 𝑥 ∈ V
29 vex 3354 . . . 4 𝑦 ∈ V
30 vex 3354 . . . 4 𝑧 ∈ V
31 mulcompr 10051 . . . 4 (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓)
32 distrpr 10056 . . . 4 (𝑓 ·P (𝑔 +P )) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ))
33 vex 3354 . . . 4 𝑤 ∈ V
34 vex 3354 . . . 4 𝑣 ∈ V
35 mulasspr 10052 . . . 4 ((𝑓 ·P 𝑔) ·P ) = (𝑓 ·P (𝑔 ·P ))
36 vex 3354 . . . 4 𝑢 ∈ V
37 addcompr 10049 . . . 4 (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓)
38 addasspr 10050 . . . 4 ((𝑓 +P 𝑔) +P ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ))
3928, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38caovlem2 7021 . . 3 ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))))
4028, 29, 30, 31, 32, 33, 36, 35, 34, 37, 38caovlem2 7021 . . 3 ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))))
411, 2, 3, 4, 5, 16, 27, 39, 40ecovass 8011 . 2 ((𝐴R𝐵R𝐶R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))
42 dmmulsr 10113 . . 3 dom ·R = (R × R)
43 0nsr 10106 . . 3 ¬ ∅ ∈ R
4442, 43ndmovass 6973 . 2 (¬ (𝐴R𝐵R𝐶R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))
4541, 44pm2.61i 176 1 ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6796  Pcnp 9887   +P cpp 9889   ·P cmp 9890   ~R cer 9892  Rcnr 9893   ·R cmr 9898 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-ec 7902  df-qs 7906  df-ni 9900  df-pli 9901  df-mi 9902  df-lti 9903  df-plpq 9936  df-mpq 9937  df-ltpq 9938  df-enq 9939  df-nq 9940  df-erq 9941  df-plq 9942  df-mq 9943  df-1nq 9944  df-rq 9945  df-ltnq 9946  df-np 10009  df-plp 10011  df-mp 10012  df-ltp 10013  df-enr 10083  df-nr 10084  df-mr 10086 This theorem is referenced by:  sqgt0sr  10133  recexsr  10134  axmulass  10184
 Copyright terms: Public domain W3C validator