Theorem mulasspi 9911

Description: Multiplication of positive integers is associative. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulasspi	⊢ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶))

Proof of Theorem mulasspi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 9892	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 9892	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		pinn 9892	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
4		nnmass 7873	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1164	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
6		mulclpi 9907	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
7		mulpiord 9899	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶))
8	6, 7	sylan 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶))
9		mulpiord 9899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐵))
10	9	oveq1d 6828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
11	10	adantr 472	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·𝑜 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
12	8, 11	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
13	12	3impa 1101	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ·𝑜 𝐶))
14		mulclpi 9907	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N)
15		mulpiord 9899	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ·N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)))
16	14, 15	sylan2 492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)))
17		mulpiord 9899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 ·N 𝐶) = (𝐵 ·𝑜 𝐶))
18	17	oveq2d 6829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
19	18	adantl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
20	16, 19	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
21	20	3impb 1108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)) = (𝐴 ·𝑜 (𝐵 ·𝑜 𝐶)))
22	5, 13, 21	3eqtr4d 2804	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)))
23		dmmulpi 9905	. . 3 ⊢ dom ·N = (N × N)
24		0npi 9896	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
25	23, 24	ndmovass 6987	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶)))
26	22, 25	pm2.61i 176	1 ⊢ ((𝐴 ·N 𝐵) ·N 𝐶) = (𝐴 ·N (𝐵 ·N 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6813  ωcom 7230   ·_𝑜 comu 7727  Ncnpi 9858   ·_N cmi 9860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-ni 9886  df-mi 9888

This theorem is referenced by:  enqer  9935  adderpqlem  9968  mulerpqlem  9969  addassnq  9972  mulassnq  9973  mulcanenq  9974  distrnq  9975  ltsonq  9983  lterpq  9984  ltanq  9985  ltmnq  9986  ltexnq  9989