MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muladd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muladd 10654
Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
muladd (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))

Proof of Theorem muladd
StepHypRef Expression
1 addcl 10210 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2 adddi 10217 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)))
323expb 1114 . . 3 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)))
41, 3sylan 489 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)))
5 adddir 10223 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
653expa 1112 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
76adantrr 755 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)))
8 adddir 10223 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)))
983expa 1112 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)))
109adantrl 754 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)))
117, 10oveq12d 6831 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 + 𝐵) · 𝐶) + ((𝐴 + 𝐵) · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
12 mulcl 10212 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
1312ad2ant2r 800 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
14 mulcl 10212 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
1514ad2ant2lr 801 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
16 mulcl 10212 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
17 mulcl 10212 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
18 addcl 10210 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
1916, 17, 18syl2an 495 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
2019anandirs 909 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
2120adantrl 754 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
2213, 15, 21add32d 10455 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐵 · 𝐶)))
23 mulcom 10214 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐵))
2423ad2ant2l 799 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐵))
2524oveq2d 6829 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐵 · 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐷 · 𝐵)))
2616ad2ant2rl 802 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
2717ad2ant2l 799 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
2813, 26, 27addassd 10254 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))))
29 mulcl 10212 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
3029ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
3130ad2ant2l 799 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
3213, 26, 31add32d 10455 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐷 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)))
3325, 28, 323eqtr3d 2802 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)))
34 mulcom 10214 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
3534ad2ant2lr 801 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
3633, 35oveq12d 6831 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) + (𝐵 · 𝐶)) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐶 · 𝐵)))
37 addcl 10210 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
3812, 30, 37syl2an 495 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
3938an4s 904 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ)
40 mulcl 10212 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
4140ancoms 468 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
4241ad2ant2lr 801 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
4339, 26, 42addassd 10254 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + (𝐴 · 𝐷)) + (𝐶 · 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
4422, 36, 433eqtrd 2798 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐶)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐷))) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
454, 11, 443eqtrd 2798 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6813  cc 10126   + caddc 10131   · cmul 10133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271
This theorem is referenced by:  mulsub  10665  muladdi  10673  muladdd  10681  sqabsadd  14221  demoivreALT  15130
  Copyright terms: Public domain W3C validator