MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02i 10417
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
mul02i (0 · 𝐴) = 0

Proof of Theorem mul02i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mul02 10406 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
31, 2ax-mp 5 1 (0 · 𝐴) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128   · cmul 10133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271
This theorem is referenced by:  sq10  13242  abs0  14224  odd2np1lem  15266  divalglem8  15325  11prm  16024  631prm  16036  1259lem1  16040  1259lem3  16042  1259lem4  16043  2503lem1  16046  2503lem2  16047  4001lem1  16050  4001lem2  16051  4001lem3  16052  4001prm  16054  pcoass  23024  sin2pi  24426  abscxpbnd  24693  log2ub  24875  dchrmulid2  25176  lgsdir2  25254  lgsdir  25256  ex-prmo  27627  siilem2  28016  nmophmi  29199  hgt750lem2  31039  stoweidlem36  40756  fmtnofac1  41992  fmtno5faclem1  42001  fmtno5faclem2  42002  31prm  42022
  Copyright terms: Public domain W3C validator