MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02d 10418
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul02d (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mul02 10398 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1624  wcel 2131  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120   · cmul 10125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-ltxr 10263
This theorem is referenced by:  mulneg1  10650  mulge0  10730  mul0or  10851  prodgt0  11052  un0mulcl  11511  mul2lt0rgt0  12118  mul2lt0bi  12121  lincmb01cmp  12500  iccf1o  12501  discr1  13186  discr  13187  hashxplem  13404  cshweqrep  13759  remul2  14061  immul2  14068  binomlem  14752  pwm1geoser  14791  geomulcvg  14798  ntrivcvgfvn0  14822  fprodeq0  14896  fprodeq0g  14916  0fallfac  14959  binomfallfaclem2  14962  efne0  15018  dvds0  15191  pwp1fsum  15308  smumullem  15408  mulgcd  15459  bezoutr1  15476  lcmgcd  15514  qnumgt0  15652  pcexp  15758  vdwapun  15872  vdwlem1  15879  mulgnn0ass  17771  odmulg  18165  torsubg  18449  isabvd  19014  nn0srg  20010  rge0srg  20011  prmirredlem  20035  nmo0  22732  nmoeq0  22733  blcvx  22794  reparphti  22989  pcorevlem  23018  ipcau2  23225  rrxcph  23372  itg1addlem4  23657  itg1addlem5  23658  itg1mulc  23662  itg2mulc  23705  dvcmul  23898  dvmptcmul  23918  dvexp3  23932  dvef  23934  dveq0  23954  dv11cn  23955  ply1termlem  24150  plyeq0lem  24157  plypf1  24159  plyaddlem1  24160  plymullem1  24161  coeeulem  24171  coeidlem  24184  coeid3  24187  coemullem  24197  coemulhi  24201  coemulc  24202  dgrco  24222  vieta1lem2  24257  elqaalem2  24266  aalioulem3  24280  taylthlem2  24319  abelthlem6  24381  pilem2  24397  sinhalfpip  24435  sinhalfpim  24436  coshalfpip  24437  coshalfpim  24438  logtayl  24597  mulcxp  24622  cxpmul2  24626  cxpeq  24689  chordthmlem5  24754  cubic  24767  atans2  24849  atantayl2  24856  leibpi  24860  efrlim  24887  scvxcvx  24903  amgm  24908  ftalem5  24994  basellem2  24999  mumul  25098  muinv  25110  dchrn0  25166  dchrinvcl  25169  lgsdirnn0  25260  lgsdinn0  25261  lgsquad2lem2  25301  rpvmasumlem  25367  dchrisum0flblem1  25388  rpvmasum2  25392  ostth2lem2  25514  brbtwn2  25976  axsegconlem1  25988  axpaschlem  26011  axcontlem7  26041  axcontlem8  26042  nvz0  27824  ipasslem1  27987  hi01  28254  fprodeq02  29870  xrge0iifhom  30284  indsum  30384  indsumin  30385  eulerpartlemsv2  30721  eulerpartlems  30723  eulerpartlemsv3  30724  eulerpartlemgc  30725  eulerpartlemv  30727  eulerpartlemgs2  30743  sgnmul  30905  plymul02  30924  plymulx0  30925  itgexpif  30985  breprexplemc  31011  breprexp  31012  logdivsqrle  31029  subfacp1lem6  31466  cvxpconn  31523  cvxsconn  31524  fwddifnp1  32570  pell1234qrne0  37911  jm2.19lem3  38052  jm2.25  38060  flcidc  38238  relexpmulg  38496  radcnvrat  39007  dvconstbi  39027  binomcxplemnn0  39042  sineq0ALT  39664  fperiodmullem  40008  fprod0  40323  dvsinax  40622  dvasinbx  40630  ioodvbdlimc1lem2  40642  ioodvbdlimc2lem  40644  dvnxpaek  40652  dvnmul  40653  itgsinexplem1  40664  dirkertrigeqlem2  40811  fourierdlem42  40861  fourierdlem83  40901  sqwvfoura  40940  fouriersw  40943  elaa2lem  40945  etransclem15  40961  etransclem24  40970  etransclem35  40981  etransclem46  40992  sigarcol  41551  sharhght  41552  fmtnofac2  41983  aacllem  43052
  Copyright terms: Public domain W3C validator