MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02 10406
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 10228 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 recn 10218 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3 ax-icn 10187 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
4 recn 10218 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 mulcl 10212 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 698 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
7 0cn 10224 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
8 adddi 10217 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
97, 8mp3an1 1560 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
102, 6, 9syl2an 495 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
11 mul02lem2 10405 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
12 mul12 10394 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
137, 3, 12mp3an12 1563 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
144, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
15 mul02lem2 10405 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · 𝑦) = 0)
1615oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 · 𝑦)) = (i · 0))
1714, 16eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · 0))
1811, 17oveqan12d 6832 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
1910, 18eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
20 cnre 10228 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
217, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))
22 oveq2 6821 . . . . . . . . . 10 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
2322eqeq1d 2762 . . . . . . . . 9 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 0) = (0 + (i · 0)) ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0))))
2419, 23syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0))))
2524rexlimivv 3174 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0)))
2621, 25ax-mp 5 . . . . . 6 (0 · 0) = (0 + (i · 0))
27 0re 10232 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
28 mul02lem2 10405 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . 6 (0 · 0) = 0
3026, 29eqtr3i 2784 . . . . 5 (0 + (i · 0)) = 0
3119, 30syl6eq 2810 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
32 oveq2 6821 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
3332eqeq1d 2762 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
3431, 33syl5ibrcom 237 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0))
3534rexlimivv 3174 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0)
361, 35syl 17 1 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  ici 10130   + caddc 10131   · cmul 10133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271
This theorem is referenced by:  mul01  10407  cnegex2  10410  mul02i  10417  mul02d  10426  bcval5  13299  fsumconst  14721  demoivreALT  15130  nnnn0modprm0  15713  cnfldmulg  19980  itg2mulc  23713  dvcmulf  23907  coe0  24211  plymul0or  24235  sineq0  24472  jensen  24914  musumsum  25117  lgsne0  25259  brbtwn2  25984  ax5seglem4  26011  axeuclidlem  26041  axeuclid  26042  axcontlem2  26044  axcontlem4  26046  eulerpartlemb  30739  expgrowth  39036  dvcosax  40644
  Copyright terms: Public domain W3C validator