MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul01i 10418
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
mul01i (𝐴 · 0) = 0

Proof of Theorem mul01i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mul01 10407 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 · 0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2139  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128   · cmul 10133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271
This theorem is referenced by:  ine0  10657  msqge0  10741  recextlem2  10850  eqneg  10937  crne0  11205  2t0e0  11375  it0e0  11446  num0h  11701  decmul1  11777  decmul1OLD  11778  discr  13195  sin4lt0  15124  demoivreALT  15130  gcdaddmlem  15447  bezout  15462  139prm  16033  317prm  16035  631prm  16036  1259lem4  16043  2503lem1  16046  2503lem2  16047  4001lem1  16050  4001lem2  16051  4001lem3  16052  4001lem4  16053  odadd1  18451  minveclem7  23406  itg1addlem4  23665  aalioulem3  24288  dcubic  24772  log2ublem3  24874  basellem7  25012  basellem9  25014  lgsdir2  25254  selberg2lem  25438  logdivbnd  25444  pntrsumo1  25453  pntrlog2bndlem5  25469  axpaschlem  26019  axlowdimlem6  26026  nmblolbii  27963  siilem1  28015  minvecolem7  28048  eigorthi  29005  nmbdoplbi  29192  nmcoplbi  29196  nmbdfnlbi  29217  nmcfnlbi  29220  nmopcoi  29263  itgexpif  30993  hgt750lem2  31039  subfacval2  31476  areacirc  33818  139prmALT  42021
  Copyright terms: Public domain W3C validator