MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul01d 10273
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul01d (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mul01 10253 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117
This theorem is referenced by:  mulge0  10584  mul0or  10705  diveq0  10733  div0  10753  lemul1a  10915  un0mulcl  11365  mul2lt0bi  11974  rexmul  12139  modid  12735  addmodlteq  12785  expmul  12945  sqlecan  13011  discr  13041  hashf1lem2  13278  hashf1  13279  fsummulc2  14560  geolim  14645  geomulcvg  14651  fprodeq0  14749  0risefac  14813  0dvds  15049  smumullem  15261  bezoutlem1  15303  lcmgcd  15367  mulgcddvds  15416  cncongr2  15429  prmdiv  15537  pcaddlem  15639  qexpz  15652  prmreclem4  15670  prmreclem5  15671  mulgnn0ass  17625  odadd2  18298  isabvd  18868  nn0srg  19864  rge0srg  19865  nmolb2d  22569  nmoleub  22582  reparphti  22843  pcorevlem  22872  itg1val2  23496  i1fmullem  23506  itg1addlem4  23511  itg10a  23522  itg1ge0a  23523  itg2const  23552  itg2monolem1  23562  itg0  23591  itgz  23592  iblmulc2  23642  itgmulc2lem1  23643  bddmulibl  23650  dvcnp2  23728  dvcobr  23754  dvlip  23801  dvlipcn  23802  c1lip1  23805  dvlt0  23813  plymullem1  24015  coefv0  24049  coemullem  24051  coemulhi  24055  dgrmulc  24072  dgrcolem2  24075  dvply1  24084  plydivlem3  24095  elqaalem2  24120  elqaalem3  24121  tayl0  24161  dvtaylp  24169  radcnv0  24215  dvradcnv  24220  pserdvlem2  24227  abelthlem2  24231  pilem2  24251  sinmpi  24284  cosmpi  24285  sinppi  24286  cosppi  24287  tanregt0  24330  efsubm  24342  argregt0  24401  argrege0  24402  argimgt0  24403  logtayl  24451  mulcxplem  24475  mulcxp  24476  cxpmul2  24480  pythag  24592  quad2  24611  dcubic  24618  atans2  24703  zetacvg  24786  lgamgulmlem2  24801  mumul  24952  logexprlim  24995  dchrsum2  25038  sumdchr2  25040  lgsdilem  25094  lgsdirnn0  25114  lgsdinn0  25115  lgsquad3  25157  rpvmasumlem  25221  dchrisumlem1  25223  dchrvmasumiflem2  25236  rpvmasum2  25246  dchrisum0re  25247  pntrlog2bndlem4  25314  pntlemf  25339  pntleml  25345  ostth2lem2  25368  ostth3  25372  colinearalg  25835  nmlnoubi  27779  ipasslem2  27815  cdj3lem1  29421  2sqmod  29776  xrge0iifhom  30111  sgnmul  30732  signsplypnf  30755  signswch  30766  signlem0  30792  itgexpif  30812  circlemeth  30846  knoppndvlem6  32633  knoppndvlem8  32635  knoppndvlem13  32640  ovoliunnfl  33581  voliunnfl  33583  itg2addnclem  33591  iblmulc2nc  33605  itgmulc2nclem1  33606  areacirc  33635  geomcau  33685  bfp  33753  irrapxlem1  37703  pell1qr1  37752  pell1qrgaplem  37754  rmxy0  37805  jm2.18  37872  mpaaeu  38037  relexpmulg  38319  binomcxplemnotnn0  38872  xralrple2  39883  stoweidlem26  40561  stoweidlem37  40572  stirlinglem7  40615  dirkercncflem2  40639  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  sqwvfoura  40763  sqwvfourb  40764  etransclem15  40784  etransclem24  40793  etransclem25  40794  etransclem32  40801  etransclem35  40804  etransclem48  40817  hoidmvlelem1  41130  hoidmvlelem2  41131  hoidmvlelem3  41132  sharhght  41375  pwdif  41826  altgsumbcALT  42456  dig0  42725
  Copyright terms: Public domain W3C validator