Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem msubff1o 31783
 Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is bijective to the set of all substitutions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff1.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
msubff1.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
msubff1.s 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
msubff1o (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆)

Proof of Theorem msubff1o
StepHypRef Expression
1 msubff1.v . . . 4 𝑉 = (mVR‘𝑇)
2 msubff1.r . . . 4 𝑅 = (mREx‘𝑇)
3 msubff1.s . . . 4 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
4 eqid 2761 . . . 4 (mEx‘𝑇) = (mEx‘𝑇)
51, 2, 3, 4msubff1 31782 . . 3 (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1→((mEx‘𝑇) ↑𝑚 (mEx‘𝑇)))
6 f1f1orn 6311 . . 3 ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1→((mEx‘𝑇) ↑𝑚 (mEx‘𝑇)) → (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)))
75, 6syl 17 . 2 (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)))
81, 2, 3msubrn 31755 . . . 4 ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝑅𝑚 𝑉))
9 df-ima 5280 . . . 4 (𝑆 “ (𝑅𝑚 𝑉)) = ran (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))
108, 9eqtri 2783 . . 3 ran 𝑆 = ran (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))
11 f1oeq3 6292 . . 3 (ran 𝑆 = ran (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆 ↔ (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉))))
1210, 11ax-mp 5 . 2 ((𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆 ↔ (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1-onto→ran (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)))
137, 12sylibr 224 1 (𝑇 ∈ mFS → (𝑆 ↾ (𝑅𝑚 𝑉)):(𝑅𝑚 𝑉)–1-1-onto→ran 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ran crn 5268   ↾ cres 5269   “ cima 5270  –1-1→wf1 6047  –1-1-onto→wf1o 6049  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↑𝑚 cmap 8026  mVRcmvar 31687  mRExcmrex 31692  mExcmex 31693  mSubstcmsub 31697  mFScmfs 31702 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-word 13506  df-concat 13508  df-s1 13509  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-frmd 17608  df-mrex 31712  df-mex 31713  df-mrsub 31716  df-msub 31717  df-mfs 31722 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator