Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubcn 31744
Description: A substitution does not change the value of constant substrings. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
mrsubccat.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubcn.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubcn.c 𝐶 = (mCN‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsubcn ((𝐹 ∈ ran 𝑆𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)

Proof of Theorem mrsubcn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4063 . . . . 5 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2 mrsubccat.s . . . . . . . 8 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3 fvprc 6347 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ V → (mRSubst‘𝑇) = ∅)
42, 3syl5eq 2806 . . . . . . 7 𝑇 ∈ V → 𝑆 = ∅)
54rneqd 5508 . . . . . 6 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ran ∅)
6 rn0 5532 . . . . . 6 ran ∅ = ∅
75, 6syl6eq 2810 . . . . 5 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
81, 7nsyl2 142 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝑇 ∈ V)
9 mrsubcn.v . . . . 5 𝑉 = (mVR‘𝑇)
10 mrsubccat.r . . . . 5 𝑅 = (mREx‘𝑇)
119, 10, 2mrsubff 31737 . . . 4 (𝑇 ∈ V → 𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅𝑚 𝑅))
12 ffun 6209 . . . 4 (𝑆:(𝑅pm 𝑉)⟶(𝑅𝑚 𝑅) → Fun 𝑆)
138, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
149, 10, 2mrsubrn 31738 . . . . 5 ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝑅𝑚 𝑉))
1514eleq2i 2831 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅𝑚 𝑉)))
1615biimpi 206 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅𝑚 𝑉)))
17 fvelima 6411 . . 3 ((Fun 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ (𝑅𝑚 𝑉))) → ∃𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)(𝑆𝑓) = 𝐹)
1813, 16, 17syl2anc 696 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)(𝑆𝑓) = 𝐹)
19 elmapi 8047 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝑓:𝑉𝑅)
2019adantl 473 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑓:𝑉𝑅)
21 ssid 3765 . . . . . . 7 𝑉𝑉
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑉𝑉)
23 eldifi 3875 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → 𝑋𝐶)
24 elun1 3923 . . . . . . . 8 (𝑋𝐶𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → 𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
2625adantr 472 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
27 mrsubcn.c . . . . . . 7 𝐶 = (mCN‘𝑇)
2827, 9, 10, 2mrsubcv 31735 . . . . . 6 ((𝑓:𝑉𝑅𝑉𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝑉, (𝑓𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
2920, 22, 26, 28syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝑉, (𝑓𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
30 eldifn 3876 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → ¬ 𝑋𝑉)
3130adantr 472 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ¬ 𝑋𝑉)
3231iffalsed 4241 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → if(𝑋𝑉, (𝑓𝑋), ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
3329, 32eqtrd 2794 . . . 4 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
34 fveq1 6352 . . . . 5 ((𝑆𝑓) = 𝐹 → ((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = (𝐹‘⟨“𝑋”⟩))
3534eqeq1d 2762 . . . 4 ((𝑆𝑓) = 𝐹 → (((𝑆𝑓)‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩ ↔ (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
3633, 35syl5ibcom 235 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑆𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
3736rexlimdva 3169 . 2 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → (∃𝑓 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)(𝑆𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩))
3818, 37mpan9 487 1 ((𝐹 ∈ ran 𝑆𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → (𝐹‘⟨“𝑋”⟩) = ⟨“𝑋”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  Vcvv 3340  cdif 3712  cun 3713  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  ran crn 5267  cima 5269  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025  pm cpm 8026  ⟨“cs1 13500  mCNcmcn 31685  mVRcmvar 31686  mRExcmrex 31691  mRSubstcmrsub 31695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-frmd 17607  df-mrex 31711  df-mrsub 31715
This theorem is referenced by:  elmrsubrn  31745  mrsubco  31746  mrsubvrs  31747
  Copyright terms: Public domain W3C validator