Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsub0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsub0 31745
 Description: The value of the substituted empty string. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mrsubccat.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsub0 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)

Proof of Theorem mrsub0
Dummy variables 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4066 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ¬ ran 𝑆 = ∅)
2 mrsubccat.s . . . . . 6 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
3 fvprc 6326 . . . . . 6 𝑇 ∈ V → (mRSubst‘𝑇) = ∅)
42, 3syl5eq 2816 . . . . 5 𝑇 ∈ V → 𝑆 = ∅)
54rneqd 5491 . . . 4 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ran ∅)
6 rn0 5515 . . . 4 ran ∅ = ∅
75, 6syl6eq 2820 . . 3 𝑇 ∈ V → ran 𝑆 = ∅)
81, 7nsyl2 144 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝑇 ∈ V)
9 eqid 2770 . . . . 5 (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
10 eqid 2770 . . . . 5 (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
119, 10, 2mrsubff 31741 . . . 4 (𝑇 ∈ V → 𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mREx‘𝑇)))
12 ffun 6188 . . . 4 (𝑆:((mREx‘𝑇) ↑pm (mVR‘𝑇))⟶((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mREx‘𝑇)) → Fun 𝑆)
138, 11, 123syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → Fun 𝑆)
149, 10, 2mrsubrn 31742 . . . . 5 ran 𝑆 = (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇)))
1514eleq2i 2841 . . . 4 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))))
1615biimpi 206 . . 3 (𝐹 ∈ ran 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))))
17 fvelima 6390 . . 3 ((Fun 𝑆𝐹 ∈ (𝑆 “ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇)))) → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))(𝑆𝑓) = 𝐹)
1813, 16, 17syl2anc 565 . 2 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → ∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))(𝑆𝑓) = 𝐹)
19 elmapi 8030 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇)) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
2019adantl 467 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → 𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇))
21 ssid 3771 . . . . . . 7 (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇)
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇))
23 wrd0 13525 . . . . . . 7 ∅ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))
24 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
2524, 9, 10mrexval 31730 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
2625adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → (mREx‘𝑇) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
2723, 26syl5eleqr 2856 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → ∅ ∈ (mREx‘𝑇))
28 eqid 2770 . . . . . . 7 (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) = (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)))
2924, 9, 10, 2, 28mrsubval 31738 . . . . . 6 ((𝑓:(mVR‘𝑇)⟶(mREx‘𝑇) ∧ (mVR‘𝑇) ⊆ (mVR‘𝑇) ∧ ∅ ∈ (mREx‘𝑇)) → ((𝑆𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
3020, 22, 27, 29syl3anc 1475 . . . . 5 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → ((𝑆𝑓)‘∅) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)))
31 co02 5793 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅) = ∅
3231oveq2i 6803 . . . . . 6 ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅)
3328frmd0 17604 . . . . . . 7 ∅ = (0g‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))))
3433gsum0 17485 . . . . . 6 ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ∅) = ∅
3532, 34eqtri 2792 . . . . 5 ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇))) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ (mVR‘𝑇)) ↦ if(𝑣 ∈ (mVR‘𝑇), (𝑓𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ∅)) = ∅
3630, 35syl6eq 2820 . . . 4 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → ((𝑆𝑓)‘∅) = ∅)
37 fveq1 6331 . . . . 5 ((𝑆𝑓) = 𝐹 → ((𝑆𝑓)‘∅) = (𝐹‘∅))
3837eqeq1d 2772 . . . 4 ((𝑆𝑓) = 𝐹 → (((𝑆𝑓)‘∅) = ∅ ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
3936, 38syl5ibcom 235 . . 3 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))) → ((𝑆𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
4039rexlimdva 3178 . 2 (𝑇 ∈ V → (∃𝑓 ∈ ((mREx‘𝑇) ↑𝑚 (mVR‘𝑇))(𝑆𝑓) = 𝐹 → (𝐹‘∅) = ∅))
418, 18, 40sylc 65 1 (𝐹 ∈ ran 𝑆 → (𝐹‘∅) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3061  Vcvv 3349   ∪ cun 3719   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  ifcif 4223   ↦ cmpt 4861  ran crn 5250   “ cima 5252   ∘ ccom 5253  Fun wfun 6025  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↑𝑚 cmap 8008   ↑pm cpm 8009  Word cword 13486  ⟨“cs1 13489   Σg cgsu 16308  freeMndcfrmd 17591  mCNcmcn 31689  mVRcmvar 31690  mRExcmrex 31695  mRSubstcmrsub 31699 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-frmd 17593  df-mrex 31715  df-mrsub 31719 This theorem is referenced by:  mrsubvrs  31751
 Copyright terms: Public domain W3C validator