MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrissmrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrissmrid 16524
Description: In a Moore system, subsets of independent sets are independent. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrissmrid.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrissmrid.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrissmrid.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mrissmrid.4 (𝜑𝑆𝐼)
mrissmrid.5 (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
mrissmrid (𝜑𝑇𝐼)

Proof of Theorem mrissmrid
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrissmrid.2 . 2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
2 mrissmrid.3 . 2 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
3 mrissmrid.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 mrissmrid.5 . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
5 mrissmrid.4 . . . 4 (𝜑𝑆𝐼)
62, 3, 5mrissd 16519 . . 3 (𝜑𝑆𝑋)
74, 6sstrd 3755 . 2 (𝜑𝑇𝑋)
81, 2, 3, 6ismri2d 16516 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐼 ↔ ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))))
95, 8mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
104sseld 3744 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥𝑆))
114ssdifd 3890 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑆 ∖ {𝑥}))
126ssdifssd 3892 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑋)
133, 1, 11, 12mrcssd 16507 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})) ⊆ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})))
1413ssneld 3747 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
1510, 14imim12d 81 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑆 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥}))) → (𝑥𝑇 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))))
1615ralimdv2 3100 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝑆 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑆 ∖ {𝑥})) → ∀𝑥𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥}))))
179, 16mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑇 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑇 ∖ {𝑥})))
181, 2, 3, 7, 17ismri2dd 16517 1 (𝜑𝑇𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  cdif 3713  wss 3716  {csn 4322  cfv 6050  Moorecmre 16465  mrClscmrc 16466  mrIndcmri 16467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-fv 6058  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-mri 16471
This theorem is referenced by:  mreexexlem2d  16528  acsfiindd  17399
  Copyright terms: Public domain W3C validator