MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrelatlub 17407
Description: Least upper bounds in a Moore space are realized by the closure of the union. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatlub.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
mrelatlub.l 𝐿 = (lub‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
mrelatlub ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐿𝑈) = (𝐹 𝑈))

Proof of Theorem mrelatlub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . 2 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐶)
32ipobas 17376 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
43adantr 472 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5 mrelatlub.l . . 3 𝐿 = (lub‘𝐼)
65a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐿 = (lub‘𝐼))
72ipopos 17381 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐼 ∈ Poset)
9 simpr 479 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝐶)
10 uniss 4610 . . . . 5 (𝑈𝐶 𝑈 𝐶)
1110adantl 473 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 𝐶)
12 mreuni 16482 . . . . 5 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = 𝑋)
1312adantr 472 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐶 = 𝑋)
1411, 13sseqtrd 3782 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝑋)
15 mrelatlub.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
1615mrccl 16493 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
1714, 16syldan 488 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
18 elssuni 4619 . . . 4 (𝑥𝑈𝑥 𝑈)
1915mrcssid 16499 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝐹 𝑈))
2014, 19syldan 488 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 ⊆ (𝐹 𝑈))
2118, 20sylan9ssr 3758 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈))
22 simpll 807 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
239sselda 3744 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
2417adantr 472 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
252, 1ipole 17379 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶 ∧ (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶) → (𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈)))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1477 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈)))
2721, 26mpbird 247 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈))
28 simp1l 1240 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
29 simplll 815 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
30 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈𝐶)
3130sselda 3744 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
32 simplr 809 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦𝐶)
332, 1ipole 17379 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3429, 31, 32, 33syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3534biimpd 219 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3635ralimdva 3100 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) → (∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦 → ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦))
37363impia 1110 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦)
38 unissb 4621 . . . . 5 ( 𝑈𝑦 ↔ ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦)
3937, 38sylibr 224 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝑈𝑦)
40 simp2 1132 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝑦𝐶)
4115mrcsscl 16502 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑦𝑦𝐶) → (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦)
4228, 39, 40, 41syl3anc 1477 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦)
43173ad2ant1 1128 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
442, 1ipole 17379 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶𝑦𝐶) → ((𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦 ↔ (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦))
4528, 43, 40, 44syl3anc 1477 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → ((𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦 ↔ (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦))
4642, 45mpbird 247 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦)
471, 4, 6, 8, 9, 17, 27, 46poslubdg 17370 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐿𝑈) = (𝐹 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wss 3715   cuni 4588   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  Moorecmre 16464  mrClscmrc 16465  Posetcpo 17161  lubclub 17163  toInccipo 17372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ocomp 16185  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-preset 17149  df-poset 17167  df-lub 17195  df-ipo 17373
This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17408
  Copyright terms: Public domain W3C validator