Theorem mreintcl 16457

Description: A nonempty collection of closed sets has a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mreintcl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mreintcl

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpw2g 4976	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐶))
2	1	biimpar 503	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
3	2	3adant3 1127	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
4		ismre 16452	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)))
5	4	simp3bi 1142	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
6	5	3ad2ant1 1128	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶))
7		simp3 1133	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
8		neeq1 2994	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
9		inteq 4630	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ∩ 𝑠 = ∩ 𝑆)
10	9	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∩ 𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∩ 𝑆 ∈ 𝐶))
11	8, 10	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶) ↔ (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)))
12	11	rspcva 3447	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶)) → (𝑆 ≠ ∅ → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶))
13	12	3impia 1110	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → ∩ 𝑠 ∈ 𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)
14	3, 6, 7, 13	syl3anc 1477	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  ∩ cint 4627  ‘cfv 6049  Moorecmre 16444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-mre 16448

This theorem is referenced by:  mreiincl  16458  mrerintcl  16459  mreincl  16461  mremre  16466  submre  16467  mrcflem  16468  mrelatglb  17385  mreclatBAD  17388