MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreintcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreintcl 16457
Description: A nonempty collection of closed sets has a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreintcl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝐶)

Proof of Theorem mreintcl
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 4976 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐶𝑆𝐶))
21biimpar 503 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
323adant3 1127 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
4 ismre 16452 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
54simp3bi 1142 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
653ad2ant1 1128 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
7 simp3 1133 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
8 neeq1 2994 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
9 inteq 4630 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 𝑠 = 𝑆)
109eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → ( 𝑠𝐶 𝑆𝐶))
118, 10imbi12d 333 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶) ↔ (𝑆 ≠ ∅ → 𝑆𝐶)))
1211rspcva 3447 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝑆𝐶))
13123impia 1110 . 2 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝐶)
143, 6, 7, 13syl3anc 1477 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302   cint 4627  cfv 6049  Moorecmre 16444
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-mre 16448
This theorem is referenced by:  mreiincl  16458  mrerintcl  16459  mreincl  16461  mremre  16466  submre  16467  mrcflem  16468  mrelatglb  17385  mreclatBAD  17388
  Copyright terms: Public domain W3C validator