MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreincl 16382
Description: Two closed sets have a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreincl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mreincl
StepHypRef Expression
1 intprg 4619 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
213adant1 1122 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
3 simp1 1128 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
4 prssi 4461 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
543adant1 1122 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
6 prnzg 4417 . . . 4 (𝐴𝐶 → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
763ad2ant2 1126 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
8 mreintcl 16378 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
93, 5, 7, 8syl3anc 1439 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐶)
102, 9eqeltrrd 2804 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  cin 3679  wss 3680  c0 4023  {cpr 4287   cint 4583  cfv 6001  Moorecmre 16365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fv 6009  df-mre 16369
This theorem is referenced by:  submacs  17487  subgacs  17751  nsgacs  17752  lsmmod  18209  lssacs  19090  mreclatdemoBAD  21023  subrgacs  38189  sdrgacs  38190
  Copyright terms: Public domain W3C validator