MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexdomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexdomd 16516
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if 𝑆 is independent and contained in the closure of 𝑇, and either 𝑆 or 𝑇 is finite, then 𝑇 dominates 𝑆. This is an immediate consequence of mreexexd 16515. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexdomd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexdomd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexdomd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexdomd.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexdomd.5 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
mreexdomd.6 (𝜑𝑇𝑋)
mreexdomd.7 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
mreexdomd.8 (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mreexdomd (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexdomd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexdomd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mreexdomd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 mreexdomd.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4 mreexdomd.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5 mreexdomd.8 . . . . 5 (𝜑𝑆𝐼)
63, 1, 5mrissd 16503 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
7 dif0 4095 . . . 4 (𝑋 ∖ ∅) = 𝑋
86, 7syl6sseqr 3799 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
9 mreexdomd.6 . . . 4 (𝜑𝑇𝑋)
109, 7syl6sseqr 3799 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
11 mreexdomd.5 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
12 un0 4109 . . . . 5 (𝑇 ∪ ∅) = 𝑇
1312fveq2i 6335 . . . 4 (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)) = (𝑁𝑇)
1411, 13syl6sseqr 3799 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)))
15 un0 4109 . . . 4 (𝑆 ∪ ∅) = 𝑆
1615, 5syl5eqel 2853 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∪ ∅) ∈ 𝐼)
17 mreexdomd.7 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
181, 2, 3, 4, 8, 10, 14, 16, 17mreexexd 16515 . 2 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑇(𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))
19 simprrl 758 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆𝑖)
20 simprl 746 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖 ∈ 𝒫 𝑇)
2120elpwid 4307 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖𝑇)
221elfvexd 6363 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ V)
2322, 9ssexd 4936 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ V)
24 ssdomg 8154 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2625adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2721, 26mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖𝑇)
28 endomtr 8166 . . 3 ((𝑆𝑖𝑖𝑇) → 𝑆𝑇)
2919, 27, 28syl2anc 565 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆𝑇)
3018, 29rexlimddv 3182 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  Vcvv 3349  cdif 3718  cun 3719  wss 3721  c0 4061  𝒫 cpw 4295  {csn 4314   class class class wbr 4784  cfv 6031  cen 8105  cdom 8106  Fincfn 8108  Moorecmre 16449  mrClscmrc 16450  mrIndcmri 16451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7212  df-1o 7712  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-mri 16455
This theorem is referenced by:  mreexfidimd  16517
  Copyright terms: Public domain W3C validator