MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcsscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcsscl 16482
Description: The closure is the minimal closed set; any closed set which contains the generators is a superset of the closure. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mrcsscl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝐶) → (𝐹𝑈) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem mrcsscl
StepHypRef Expression
1 mress 16455 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑉𝐶) → 𝑉𝑋)
213adant2 1126 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝐶) → 𝑉𝑋)
3 mrcfval.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
43mrcss 16478 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝑋) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹𝑉))
52, 4syld3an3 1516 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝐶) → (𝐹𝑈) ⊆ (𝐹𝑉))
63mrcid 16475 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑉𝐶) → (𝐹𝑉) = 𝑉)
763adant2 1126 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝐶) → (𝐹𝑉) = 𝑉)
85, 7sseqtrd 3782 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝐶) → (𝐹𝑈) ⊆ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cfv 6049  Moorecmre 16444  mrClscmrc 16445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-mre 16448  df-mrc 16449
This theorem is referenced by:  submrc  16490  isacs2  16515  isacs3lem  17367  mrelatlub  17387  mrcmndind  17567  gsumwspan  17584  symggen  18090  cntzspan  18447  dprdspan  18626  subgdmdprd  18633  subgdprd  18634  dprdsn  18635  dprd2dlem1  18640  dprd2da  18641  dmdprdsplit2lem  18644  ablfac1b  18669  pgpfac1lem1  18673  pgpfac1lem5  18678  evlseu  19718  mrccss  20240  ismrcd2  37764  mrefg3  37773  isnacs3  37775
  Copyright terms: Public domain W3C validator