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Theorem mrcmndind 17413
Description: (( From SO's determinants branch )). TODO: Appropriate description to be added! (Contributed by SO, 14-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcmndind.ch (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
mrcmndind.th (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝜓𝜃))
mrcmndind.ta (𝑥 = 0 → (𝜓𝜏))
mrcmndind.et (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
mrcmndind.0g 0 = (0g𝑀)
mrcmndind.pg + = (+g𝑀)
mrcmndind.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mrcmndind.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
mrcmndind.g (𝜑𝐺𝐵)
mrcmndind.k (𝜑𝐵 = ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺))
mrcmndind.i1 (𝜑𝜏)
mrcmndind.i2 (((𝜑𝑦𝐵𝑧𝐺) ∧ 𝜒) → 𝜃)
mrcmndind.a (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
mrcmndind (𝜑𝜂)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥,𝑧   𝜃,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐴   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝑦,𝐺,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)   𝜂(𝑦,𝑧)   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem mrcmndind
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrcmndind.i1 . . . 4 (𝜑𝜏)
2 mrcmndind.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
3 mrcmndind.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 mrcmndind.0g . . . . . . 7 0 = (0g𝑀)
53, 4mndidcl 17355 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Mnd → 0𝐵)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐵)
7 mrcmndind.ta . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝜓𝜏))
87sbcieg 3501 . . . . 5 ( 0𝐵 → ([ 0 / 𝑥]𝜓𝜏))
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → ([ 0 / 𝑥]𝜓𝜏))
101, 9mpbird 247 . . 3 (𝜑[ 0 / 𝑥]𝜓)
11 mrcmndind.k . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺))
123submacs 17412 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝑀) ∈ (ACS‘𝐵))
132, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (SubMnd‘𝑀) ∈ (ACS‘𝐵))
1413acsmred 16364 . . . . . . . 8 (𝜑 → (SubMnd‘𝑀) ∈ (Moore‘𝐵))
15 mrcmndind.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐵)
16 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝐵𝑎𝐵))
1716anbi2d 740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑎𝐵)))
18 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
19 mrcmndind.ch . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
2018, 19sbcie 3503 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑦 / 𝑥]𝜓𝜒)
21 dfsbcq 3470 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → ([𝑦 / 𝑥]𝜓[𝑎 / 𝑥]𝜓))
2220, 21syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → (𝜒[𝑎 / 𝑥]𝜓))
23 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏))
2423sbceq1d 3473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → ([(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
2522, 24imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → ((𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)))
2617, 25imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎 → ((((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)) ↔ (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑎𝐵) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))))
27 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧𝐺𝑏𝐺))
2827anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑏 → ((𝜑𝑧𝐺) ↔ (𝜑𝑏𝐺)))
2928anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑏 → (((𝜑𝑧𝐺) ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵)))
30 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 + 𝑧) ∈ V
31 mrcmndind.th . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝜓𝜃))
3230, 31sbcie 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑦 + 𝑧) / 𝑥]𝜓𝜃)
33 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑏 → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + 𝑏))
3433sbceq1d 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑏 → ([(𝑦 + 𝑧) / 𝑥]𝜓[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
3532, 34syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑏 → (𝜃[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
3635imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑏 → ((𝜒𝜃) ↔ (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)))
3729, 36imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑏 → ((((𝜑𝑧𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒𝜃)) ↔ (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))))
38 mrcmndind.i2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐵𝑧𝐺) ∧ 𝜒) → 𝜃)
3938ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵𝑧𝐺) → (𝜒𝜃))
40393expa 1284 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐺) → (𝜒𝜃))
4140an32s 863 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒𝜃))
4237, 41chvarv 2299 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
4326, 42chvarv 2299 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑎𝐵) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
4443ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐺) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
4515, 44ssrabdv 3714 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
46 mrcmndind.pg . . . . . . . . 9 + = (+g𝑀)
473, 46, 4mndrid 17359 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 + 0 ) = 𝑎)
482, 47sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎 + 0 ) = 𝑎)
4948sbceq1d 3473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → ([(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓[𝑎 / 𝑥]𝜓))
5049biimprd 238 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐵) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓))
5150ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓))
52 simprrl 821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
532ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
54 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
55 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑐𝐵)
563, 46mndcl 17348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝐵)
5753, 54, 55, 56syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝐵)
58 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → 𝑎 = (𝑏 + 𝑐))
5958sbceq1d 3473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
60 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑏 + 𝑐) → (𝑎 + 𝑑) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑))
61 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑑𝐵)
623, 46mndass 17349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵𝑑𝐵)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
6353, 54, 55, 61, 62syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
6460, 63sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → (𝑎 + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
6564sbceq1d 3473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → ([(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
6659, 65imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓) ↔ ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
6757, 66rspcdv 3343 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓) → ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
6867ralrimdva 2998 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓) → ∀𝑏𝐵 ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
6968impr 648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓))) → ∀𝑏𝐵 ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
70 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
7170sbceq1d 3473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑎 → ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
72 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + 𝑑)))
7372sbceq1d 3473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑎 → ([(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
7471, 73imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑎 → (([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) ↔ ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
7574cbvralv 3201 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑏𝐵 ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
7669, 75sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓))) → ∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
7776adantrrl 760 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))) → ∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
78 imim1 83 . . . . . . . . . . 11 (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) → (([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
7978ral2imi 2976 . . . . . . . . . 10 (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) → (∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
8052, 77, 79sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
81 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 0 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 0 ))
8281sbceq1d 3473 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓))
8382imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓)))
8483ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 0 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓)))
85 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑐))
8685sbceq1d 3473 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑐 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
8786imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑐 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓)))
8887ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑐 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓)))
89 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑑))
9089sbceq1d 3473 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓))
9190imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))
9291ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑑 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))
93 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + (𝑐 + 𝑑)))
9493sbceq1d 3473 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
9594imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
9695ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
973, 46, 4, 2, 51, 80, 84, 88, 92, 96issubmd 17396 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ∈ (SubMnd‘𝑀))
98 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (mrCls‘(SubMnd‘𝑀)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝑀))
9998mrcsscl 16327 . . . . . . . 8 (((SubMnd‘𝑀) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐺 ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ∧ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺) ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
10014, 45, 97, 99syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺) ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
10111, 100eqsstrd 3672 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
102 mrcmndind.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
103101, 102sseldd 3637 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
104 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝐴))
105104sbceq1d 3473 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐴 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
106105imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
107106ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐴 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
108107elrab 3396 . . . . . 6 (𝐴 ∈ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
109108simprbi 479 . . . . 5 (𝐴 ∈ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
110103, 109syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
111 dfsbcq 3470 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[ 0 / 𝑥]𝜓))
112 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝑎 + 𝐴) = ( 0 + 𝐴))
113112sbceq1d 3473 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → ([(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
114111, 113imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓) ↔ ([ 0 / 𝑥]𝜓[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
115114rspcva 3338 . . . 4 (( 0𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)) → ([ 0 / 𝑥]𝜓[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
1166, 110, 115syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ([ 0 / 𝑥]𝜓[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
11710, 116mpd 15 . 2 (𝜑[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)
1183, 46, 4mndlid 17358 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ( 0 + 𝐴) = 𝐴)
1192, 102, 118syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ( 0 + 𝐴) = 𝐴)
120119sbceq1d 3473 . . 3 (𝜑 → ([( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓[𝐴 / 𝑥]𝜓))
121 mrcmndind.et . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
122121sbcieg 3501 . . . 4 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝜓𝜂))
123102, 122syl 17 . . 3 (𝜑 → ([𝐴 / 𝑥]𝜓𝜂))
124120, 123bitrd 268 . 2 (𝜑 → ([( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓𝜂))
125117, 124mpbid 222 1 (𝜑𝜂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  [wsbc 3468  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  Moorecmre 16289  mrClscmrc 16290  ACScacs 16292  Mndcmnd 17341  SubMndcsubmnd 17381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-0g 16149  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383
This theorem is referenced by:  mdetunilem7  20472
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