Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptfzshft Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptfzshft 14709
 Description: 1-1 onto function in maps-to notation which shifts a finite set of sequential integers. Formerly part of proof for fsumshft 14711. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptfzshft.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
mptfzshft.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mptfzshft.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
mptfzshft (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝜑,𝑗

Proof of Theorem mptfzshft
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6841 . . . 4 (𝑗𝐾) ∈ V
2 eqid 2760 . . . 4 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) = (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾))
31, 2fnmpti 6183 . . 3 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
5 ovex 6841 . . . 4 (𝑘 + 𝐾) ∈ V
6 eqid 2760 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾))
75, 6fnmpti 6183 . . 3 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)
8 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 = (𝑗𝐾))
98oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) = ((𝑗𝐾) + 𝐾))
10 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑗 ∈ ℤ)
1110ad2antrl 766 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 ∈ ℤ)
12 mptfzshft.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
1312adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14 zcn 11574 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ ℂ)
15 zcn 11574 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
16 npcan 10482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
1714, 15, 16syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
1811, 13, 17syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → ((𝑗𝐾) + 𝐾) = 𝑗)
199, 18eqtr2d 2795 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
20 simprl 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
2119, 20eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
22 mptfzshft.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2322adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
24 mptfzshft.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2524adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
2611, 13zsubcld 11679 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑗𝐾) ∈ ℤ)
278, 26eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
28 fzaddel 12568 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
2923, 25, 27, 13, 28syl22anc 1478 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
3021, 29mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
3130, 19jca 555 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾)))
32 simprr 813 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))
33 simprl 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
3422adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
3524adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3736ad2antrl 766 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 ∈ ℤ)
3812adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
3934, 35, 37, 38, 28syl22anc 1478 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
4033, 39mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑘 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4132, 40eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
4232oveq1d 6828 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗𝐾) = ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾))
43 zcn 11574 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
44 pncan 10479 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4543, 15, 44syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4637, 38, 45syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → ((𝑘 + 𝐾) − 𝐾) = 𝑘)
4742, 46eqtr2d 2795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → 𝑘 = (𝑗𝐾))
4841, 47jca 555 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))) → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾)))
4931, 48impbida 913 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ 𝑘 = (𝑗𝐾)) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 𝐾))))
5049mptcnv 5692 . . . 4 (𝜑(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)))
5150fneq1d 6142 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (𝑘 + 𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
527, 51mpbiri 248 . 2 (𝜑(𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁))
53 dff1o4 6306 . 2 ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ↔ ((𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ∧ (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)) Fn (𝑀...𝑁)))
544, 52, 53sylanbrc 701 1 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↦ (𝑗𝐾)):((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ↦ cmpt 4881  ◡ccnv 5265   Fn wfn 6044  –1-1-onto→wf1o 6048  (class class class)co 6813  ℂcc 10126   + caddc 10131   − cmin 10458  ℤcz 11569  ...cfz 12519 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520 This theorem is referenced by:  fsumshft  14711  fprodshft  14905  gsummptshft  18536
 Copyright terms: Public domain W3C validator