Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptctf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptctf 29796
Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mptctf.1 𝑥𝐴
Assertion
Ref Expression
mptctf (𝐴 ≼ ω → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mptctf
StepHypRef Expression
1 funmpt 6079 . 2 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 ctex 8128 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3 eqid 2752 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
43dmmpt 5783 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = {𝑥𝐴𝐵 ∈ V}
5 df-rab 3051 . . . . . 6 {𝑥𝐴𝐵 ∈ V} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)}
6 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ V) → 𝑥𝐴)
76ss2abi 3807 . . . . . . 7 {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)} ⊆ {𝑥𝑥𝐴}
8 mptctf.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐴
98abid2f 2921 . . . . . . 7 {𝑥𝑥𝐴} = 𝐴
107, 9sseqtri 3770 . . . . . 6 {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐵 ∈ V)} ⊆ 𝐴
115, 10eqsstri 3768 . . . . 5 {𝑥𝐴𝐵 ∈ V} ⊆ 𝐴
124, 11eqsstri 3768 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
13 ssdomg 8159 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴))
142, 12, 13mpisyl 21 . . 3 (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴)
15 domtr 8166 . . 3 ((dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ 𝐴𝐴 ≼ ω) → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
1614, 15mpancom 706 . 2 (𝐴 ≼ ω → dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
17 funfn 6071 . . 3 (Fun (𝑥𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵))
18 fnct 9543 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
1917, 18sylanb 490 . 2 ((Fun (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω) → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
201, 16, 19sylancr 698 1 (𝐴 ≼ ω → (𝑥𝐴𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2131  {cab 2738  wnfc 2881  {crab 3046  Vcvv 3332  wss 3707   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  Fun wfun 6035   Fn wfn 6036  ωcom 7222  cdom 8111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-ac2 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-oi 8572  df-card 8947  df-acn 8950  df-ac 9121
This theorem is referenced by:  abrexctf  29797
  Copyright terms: Public domain W3C validator