Theorem mptcfsupp 42663

Description: A mapping with value 0 except of one is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppmptcfin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
suppmptcfin.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
suppmptcfin.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
suppmptcfin.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
suppmptcfin.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))

Assertion

Ref	Expression
mptcfsupp	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem mptcfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppmptcfin.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
2	1	funmpt2 6080	. . 3 ⊢ Fun 𝐹
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → Fun 𝐹)
4		suppmptcfin.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		suppmptcfin.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
6		suppmptcfin.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		suppmptcfin.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7, 1	suppmptcfin 42662	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
9		mptexg 6640	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V)
10	1, 9	syl5eqel 2835	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝐹 ∈ V)
11	10	3ad2ant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
12		fvex 6354	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
13	6, 12	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
14		isfsupp 8436	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
15	11, 13, 14	sylancl 697	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
16	3, 8, 15	mpbir2and 995	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  Vcvv 3332  ifcif 4222  𝒫 cpw 4294   class class class wbr 4796   ↦ cmpt 4873  Fun wfun 6035  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   supp csupp 7455  Fincfn 8113   finSupp cfsupp 8432  Basecbs 16051  Scalarcsca 16138  0_gc0g 16294  1_rcur 18693  LModclmod 19057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-supp 7456  df-1o 7721  df-er 7903  df-en 8114  df-fin 8117  df-fsupp 8433

This theorem is referenced by:  lcoss  42727  el0ldep  42757