MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exxg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpt2exxg 7412
Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
mpt2exxg ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2exxg
StepHypRef Expression
1 mpt2exg.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
21mpt2fun 6927 . 2 Fun 𝐹
31dmmpt2ssx 7403 . . 3 dom 𝐹 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
4 snex 5057 . . . . . 6 {𝑥} ∈ V
5 xpexg 7125 . . . . . 6 (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵𝑆) → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
64, 5mpan 708 . . . . 5 (𝐵𝑆 → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
76ralimi 3090 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 → ∀𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
8 iunexg 7308 . . . 4 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
97, 8sylan2 492 . . 3 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
10 ssexg 4956 . . 3 ((dom 𝐹 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∧ 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
113, 9, 10sylancr 698 . 2 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
12 funex 6646 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
132, 11, 12sylancr 698 1 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  wss 3715  {csn 4321   ciun 4672   × cxp 5264  dom cdm 5266  Fun wfun 6043  cmpt2 6815
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334
This theorem is referenced by:  mpt2exg  7413  mpt2ex  7415  gsum2d2lem  18572  taylfval  24312  ptrest  33721
  Copyright terms: Public domain W3C validator