MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpt2exga 7406
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
mpt2exga ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2exga
StepHypRef Expression
1 eqid 2752 . 2 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
21mpt2exg 7405 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2131  Vcvv 3332  cmpt2 6807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326
This theorem is referenced by:  mptmpt2opabbrd  7408  el2mpt2csbcl  7410  bropopvvv  7415  bropfvvvv  7417  prdsip  16315  imasds  16367  setchomfval  16922  setccofval  16925  estrchomfval  16959  estrccofval  16962  lsmvalx  18246  mamuval  20386  mamudm  20388  marrepfval  20560  marrepval0  20561  marrepval  20562  marepvfval  20565  marepvval  20567  submaval0  20580  submaval  20581  maduval  20638  minmar1val0  20647  minmar1val  20648  mat2pmatval  20723  mat2pmatf  20727  m2cpmf  20741  cpm2mval  20749  decpmatval0  20763  decpmatmul  20771  pmatcollpw2lem  20776  pmatcollpw3lem  20782  mply1topmatval  20803  mp2pm2mplem1  20805  xkoptsub  21651  grpodivfval  27689  pstmval  30239  sxsigon  30556  cndprobval  30796  funcrngcsetc  42500  funcringcsetc  42537  lmod1lem1  42778  lmod1lem2  42779  lmod1lem3  42780  lmod1lem4  42781  lmod1lem5  42782
  Copyright terms: Public domain W3C validator