Theorem mpt2ex 7292

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpt2ex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
mpt2ex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mpt2ex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpt2ex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mpt2ex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rgenw 2953	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
4		eqid 2651	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
5	4	mpt2exxg 7289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
6	1, 3, 5	mp2an 708	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ↦ cmpt2 6692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211

This theorem is referenced by:  qexALT  11841  ruclem13  15015  vdwapfval  15722  prdsco  16175  imasvsca  16227  homffval  16397  comfffval  16405  comffval  16406  comfffn  16411  comfeq  16413  oppccofval  16423  monfval  16439  sectffval  16457  invffval  16465  cofu1st  16590  cofu2nd  16592  cofucl  16595  natfval  16653  fuccofval  16666  fucco  16669  coafval  16761  setcco  16780  catchomfval  16795  catccofval  16797  catcco  16798  estrcco  16817  xpcval  16864  xpchomfval  16866  xpccofval  16869  xpcco  16870  1stf1  16879  1stf2  16880  2ndf1  16882  2ndf2  16883  1stfcl  16884  2ndfcl  16885  prf1  16887  prf2fval  16888  prfcl  16890  prf1st  16891  prf2nd  16892  evlf2  16905  evlf1  16907  evlfcl  16909  curf1fval  16911  curf11  16913  curf12  16914  curf1cl  16915  curf2  16916  curfcl  16919  hof1fval  16940  hof2fval  16942  hofcl  16946  yonedalem3  16967  mgmnsgrpex  17465  sgrpnmndex  17466  grpsubfval  17511  mulgfval  17589  symgplusg  17855  lsmfval  18099  pj1fval  18153  dvrfval  18730  psrmulr  19432  psrvscafval  19438  evlslem2  19560  mamufval  20239  mvmulfval  20396  isphtpy  22827  pcofval  22856  q1pval  23958  r1pval  23961  motplusg  25482  midf  25713  ismidb  25715  ttgval  25800  ebtwntg  25907  ecgrtg  25908  elntg  25909  wwlksnon  26800  wspthsnon  26801  clwwlknonmpt2  27062  vsfval  27616  dipfval  27685  smatfval  29989  lmatval  30007  qqhval  30146  dya2iocuni  30473  sxbrsigalem5  30478  sitmval  30539  signswplusg  30760  reprval  30816  mclsrcl  31584  mclsval  31586  ldualfvs  34741  paddfval  35401  tgrpopr  36352  erngfplus  36407  erngfmul  36410  erngfplus-rN  36415  erngfmul-rN  36418  dvafvadd  36619  dvafvsca  36621  dvaabl  36630  dvhfvadd  36697  dvhfvsca  36706  djafvalN  36740  djhfval  37003  hlhilip  37557  mendplusgfval  38072  mendmulrfval  38074  mendvscafval  38077  hoidmvval  41112  cznrng  42280  cznnring  42281  rngchomfvalALTV  42309  rngccofvalALTV  42312  rngccoALTV  42313  ringchomfvalALTV  42372  ringccofvalALTV  42375  ringccoALTV  42376