Theorem mplasclf 19699

Description: The scalar injection is a function into the polynomial algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplasclf.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplasclf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplasclf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mplasclf.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
mplasclf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplasclf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mplasclf	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)

Proof of Theorem mplasclf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplasclf.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		mplasclf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
3		mplasclf.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
5		mplasclf.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6	5	mplring 19654	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
7	5	mpllmod 19653	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ LMod)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
9		mplasclf.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10	3, 4, 6, 7, 8, 9	asclf 19539	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶𝐵)
11	1, 2, 10	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶𝐵)
12		mplasclf.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	5, 1, 2	mplsca 19647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
14	13	fveq2d 6356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
15	12, 14	syl5eq 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
16	15	feq2d 6192	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴:𝐾⟶𝐵 ↔ 𝐴:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶𝐵))
17	11, 16	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐾⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  Scalarcsca 16146  Ringcrg 18747  algSccascl 19513   mPoly cmpl 19555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-ascl 19516  df-psr 19558  df-mpl 19560

This theorem is referenced by:  evlssca  19724