MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpladd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpladd 19657
Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpladd.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mpladd.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mpladd.a + = (+g𝑅)
mpladd.g = (+g𝑃)
mpladd.x (𝜑𝑋𝐵)
mpladd.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
mpladd (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑓 + 𝑌))

Proof of Theorem mpladd
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . 2 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2771 . 2 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3 mpladd.a . 2 + = (+g𝑅)
4 mpladd.g . . 3 = (+g𝑃)
5 mpladd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
65fvexi 6345 . . . 4 𝐵 ∈ V
7 mpladd.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
87, 1, 5mplval2 19646 . . . . 5 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s 𝐵)
9 eqid 2771 . . . . 5 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
108, 9ressplusg 16201 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑃))
116, 10ax-mp 5 . . 3 (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑃)
124, 11eqtr4i 2796 . 2 = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
137, 1, 5, 2mplbasss 19647 . . 3 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
14 mpladd.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
1513, 14sseldi 3750 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
16 mpladd.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
1713, 16sseldi 3750 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
181, 2, 3, 12, 15, 17psradd 19597 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑓 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑓 cof 7046  Basecbs 16064  +gcplusg 16149   mPwSer cmps 19566   mPoly cmpl 19568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-psr 19571  df-mpl 19573
This theorem is referenced by:  mplcoe1  19680  evlslem1  19730  coe1add  19849  mdegaddle  24054
  Copyright terms: Public domain W3C validator