Theorem mpfpf1 19763

Description: Convert a multivariate polynomial function to univariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pf1rcl.q	⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
pf1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpfpf1.q	⊢ 𝐸 = ran (1𝑜 eval 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mpfpf1	⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑄(𝑦)

Proof of Theorem mpfpf1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpfpf1.q	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ran (1𝑜 eval 𝑅)
2		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑜 eval 𝑅) = (1𝑜 eval 𝑅)
3		pf1f.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	evlval 19572	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 eval 𝑅) = ((1𝑜 evalSub 𝑅)‘𝐵)
5	4	rneqi 5384	. . . . 5 ⊢ ran (1𝑜 eval 𝑅) = ran ((1𝑜 evalSub 𝑅)‘𝐵)
6	1, 5	eqtri 2673	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran ((1𝑜 evalSub 𝑅)‘𝐵)
7	6	mpfrcl 19566	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (1𝑜 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
8	7	simp2d 1094	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝑅 ∈ CRing)
9		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ 𝐸)
10	9, 1	syl6eleq 2740	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → 𝐹 ∈ ran (1𝑜 eval 𝑅))
11		1on 7612	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ On
12		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
13		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)) = (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))
14	2, 3, 12, 13	evlrhm 19573	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1𝑜 eval 𝑅) ∈ ((1𝑜 mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
15	11, 8, 14	sylancr 696	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (1𝑜 eval 𝑅) ∈ ((1𝑜 mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
16		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
17		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
18		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(Poly1‘𝑅))
19	16, 17, 18	ply1bas 19613	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝑅)) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
20		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) = (Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜)))
21	19, 20	rhmf 18774	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 eval 𝑅) ∈ ((1𝑜 mPoly 𝑅) RingHom (𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) → (1𝑜 eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))))
22		ffn 6083	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 eval 𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s (𝐵 ↑𝑚 1𝑜))) → (1𝑜 eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
23		fvelrnb 6282	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) → (𝐹 ∈ ran (1𝑜 eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
24	15, 21, 22, 23	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∈ ran (1𝑜 eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
25	10, 24	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹)
26		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (eval1‘𝑅) = (eval1‘𝑅)
27	26, 2, 3, 12, 19	evl1val 19741	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) = (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
28		eqid 2651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐵) = (𝑅 ↑s 𝐵)
29	26, 16, 28, 3	evl1rhm 19744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)))
30		eqid 2651	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐵))
31	18, 30	rhmf 18774	. . . . . . . 8 ⊢ ((eval1‘𝑅) ∈ ((Poly1‘𝑅) RingHom (𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)))
32		ffn 6083	. . . . . . . 8 ⊢ ((eval1‘𝑅):(Base‘(Poly1‘𝑅))⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐵)) → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
33	29, 31, 32	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)))
34		fnfvelrn 6396	. . . . . . 7 ⊢ (((eval1‘𝑅) Fn (Base‘(Poly1‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1‘𝑅))
35	33, 34	sylan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1‘𝑅))
36		pf1rcl.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = ran (eval1‘𝑅)
37	35, 36	syl6eleqr 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → ((eval1‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑄)
38	27, 37	eqeltrrd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
39		coeq1 5312	. . . . 5 ⊢ (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
40	39	eleq1d 2715	. . . 4 ⊢ (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → ((((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
41	38, 40	syl5ibcom 235	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))) → (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
42	41	rexlimdva 3060	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1‘𝑅))((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
43	8, 25, 42	sylc 65	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942  Vcvv 3231  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144   ∘ ccom 5147  Oncon0 5761   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1_𝑜c1o 7598   ↑_𝑚 cmap 7899  Basecbs 15904   ↑_s cpws 16154  CRingccrg 18594   RingHom crh 18760  SubRingcsubrg 18824   mPoly cmpl 19401   evalSub ces 19552   eval cevl 19553  PwSer₁cps1 19593  Poly₁cpl1 19595  eval₁ce1 19727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-srg 18552  df-ring 18595  df-cring 18596  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-assa 19360  df-asp 19361  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-evls 19554  df-evl 19555  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-evl1 19729

This theorem is referenced by:  pf1ind  19767