MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfpf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfpf1 19763
Description: Convert a multivariate polynomial function to univariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q 𝑄 = ran (eval1𝑅)
pf1f.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mpfpf1.q 𝐸 = ran (1𝑜 eval 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfpf1 (𝐹𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐸   𝑦,𝐹   𝑦,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑦)

Proof of Theorem mpfpf1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpfpf1.q . . . . 5 𝐸 = ran (1𝑜 eval 𝑅)
2 eqid 2651 . . . . . . 7 (1𝑜 eval 𝑅) = (1𝑜 eval 𝑅)
3 pf1f.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
42, 3evlval 19572 . . . . . 6 (1𝑜 eval 𝑅) = ((1𝑜 evalSub 𝑅)‘𝐵)
54rneqi 5384 . . . . 5 ran (1𝑜 eval 𝑅) = ran ((1𝑜 evalSub 𝑅)‘𝐵)
61, 5eqtri 2673 . . . 4 𝐸 = ran ((1𝑜 evalSub 𝑅)‘𝐵)
76mpfrcl 19566 . . 3 (𝐹𝐸 → (1𝑜 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)))
87simp2d 1094 . 2 (𝐹𝐸𝑅 ∈ CRing)
9 id 22 . . . 4 (𝐹𝐸𝐹𝐸)
109, 1syl6eleq 2740 . . 3 (𝐹𝐸𝐹 ∈ ran (1𝑜 eval 𝑅))
11 1on 7612 . . . . 5 1𝑜 ∈ On
12 eqid 2651 . . . . . 6 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
13 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜)) = (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))
142, 3, 12, 13evlrhm 19573 . . . . 5 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (1𝑜 eval 𝑅) ∈ ((1𝑜 mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
1511, 8, 14sylancr 696 . . . 4 (𝐹𝐸 → (1𝑜 eval 𝑅) ∈ ((1𝑜 mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
16 eqid 2651 . . . . . 6 (Poly1𝑅) = (Poly1𝑅)
17 eqid 2651 . . . . . 6 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
18 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(Poly1𝑅))
1916, 17, 18ply1bas 19613 . . . . 5 (Base‘(Poly1𝑅)) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
20 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))) = (Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜)))
2119, 20rhmf 18774 . . . 4 ((1𝑜 eval 𝑅) ∈ ((1𝑜 mPoly 𝑅) RingHom (𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))) → (1𝑜 eval 𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))))
22 ffn 6083 . . . 4 ((1𝑜 eval 𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s (𝐵𝑚 1𝑜))) → (1𝑜 eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
23 fvelrnb 6282 . . . 4 ((1𝑜 eval 𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)) → (𝐹 ∈ ran (1𝑜 eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
2415, 21, 22, 234syl 19 . . 3 (𝐹𝐸 → (𝐹 ∈ ran (1𝑜 eval 𝑅) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹))
2510, 24mpbid 222 . 2 (𝐹𝐸 → ∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹)
26 eqid 2651 . . . . . 6 (eval1𝑅) = (eval1𝑅)
2726, 2, 3, 12, 19evl1val 19741 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) = (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
28 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
2926, 16, 28, 3evl1rhm 19744 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)))
30 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑅s 𝐵)) = (Base‘(𝑅s 𝐵))
3118, 30rhmf 18774 . . . . . . . 8 ((eval1𝑅) ∈ ((Poly1𝑅) RingHom (𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)))
32 ffn 6083 . . . . . . . 8 ((eval1𝑅):(Base‘(Poly1𝑅))⟶(Base‘(𝑅s 𝐵)) → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
3329, 31, 323syl 18 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)))
34 fnfvelrn 6396 . . . . . . 7 (((eval1𝑅) Fn (Base‘(Poly1𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1𝑅))
3533, 34sylan 487 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) ∈ ran (eval1𝑅))
36 pf1rcl.q . . . . . 6 𝑄 = ran (eval1𝑅)
3735, 36syl6eleqr 2741 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → ((eval1𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑄)
3827, 37eqeltrrd 2731 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
39 coeq1 5312 . . . . 5 (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) = (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))))
4039eleq1d 2715 . . . 4 (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → ((((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄 ↔ (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
4138, 40syl5ibcom 235 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))) → (((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
4241rexlimdva 3060 . 2 (𝑅 ∈ CRing → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Poly1𝑅))((1𝑜 eval 𝑅)‘𝑥) = 𝐹 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄))
438, 25, 42sylc 65 1 (𝐹𝐸 → (𝐹 ∘ (𝑦𝐵 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))) ∈ 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  Vcvv 3231  {csn 4210  cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144  ccom 5147  Oncon0 5761   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  𝑚 cmap 7899  Basecbs 15904  s cpws 16154  CRingccrg 18594   RingHom crh 18760  SubRingcsubrg 18824   mPoly cmpl 19401   evalSub ces 19552   eval cevl 19553  PwSer1cps1 19593  Poly1cpl1 19595  eval1ce1 19727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-srg 18552  df-ring 18595  df-cring 18596  df-rnghom 18763  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-assa 19360  df-asp 19361  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-evls 19554  df-evl 19555  df-psr1 19598  df-ply1 19600  df-evl1 19729
This theorem is referenced by:  pf1ind  19767
  Copyright terms: Public domain W3C validator