MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpff 19731
Description: Polynomial functions are functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfsubrg.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpff.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
mpff (𝐹𝑄𝐹:(𝐵𝑚 𝐼)⟶𝐵)

Proof of Theorem mpff
StepHypRef Expression
1 mpff.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
21eqcomi 2765 . . . 4 (Base‘𝑆) = 𝐵
32oveq1i 6819 . . 3 ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼) = (𝐵𝑚 𝐼)
43oveq2i 6820 . 2 (𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)) = (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))
5 eqid 2756 . 2 (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) = (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼)))
6 mpfsubrg.q . . . 4 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
76mpfrcl 19716 . . 3 (𝐹𝑄 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)))
87simp2d 1138 . 2 (𝐹𝑄𝑆 ∈ CRing)
9 ovexd 6839 . 2 (𝐹𝑄 → (𝐵𝑚 𝐼) ∈ V)
106mpfsubrg 19730 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
115subrgss 18979 . . . 4 (𝑄 ∈ (SubRing‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))) → 𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
127, 10, 113syl 18 . . 3 (𝐹𝑄𝑄 ⊆ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
13 id 22 . . 3 (𝐹𝑄𝐹𝑄)
1412, 13sseldd 3741 . 2 (𝐹𝑄𝐹 ∈ (Base‘(𝑆s ((Base‘𝑆) ↑𝑚 𝐼))))
154, 1, 5, 8, 9, 14pwselbas 16347 1 (𝐹𝑄𝐹:(𝐵𝑚 𝐼)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  Vcvv 3336  wss 3711  ran crn 5263  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  𝑚 cmap 8019  Basecbs 16055  s cpws 16305  CRingccrg 18744  SubRingcsubrg 18974   evalSub ces 19702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-ofr 7059  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-sup 8509  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-hash 13308  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-hom 16164  df-cco 16165  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-prds 16306  df-pws 16308  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-mhm 17532  df-submnd 17533  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-sbg 17624  df-mulg 17738  df-subg 17788  df-ghm 17855  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-abl 18392  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-srg 18702  df-ring 18745  df-cring 18746  df-rnghom 18913  df-subrg 18976  df-lmod 19063  df-lss 19131  df-lsp 19170  df-assa 19510  df-asp 19511  df-ascl 19512  df-psr 19554  df-mvr 19555  df-mpl 19556  df-evls 19704
This theorem is referenced by:  pf1ind  19917
  Copyright terms: Public domain W3C validator