Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpfconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpfconst 19753
 Description: Constants are multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mpfconst.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
mpfconst.q 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mpfconst.i (𝜑𝐼𝑉)
mpfconst.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
mpfconst.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mpfconst.x (𝜑𝑋𝑅)
Assertion
Ref Expression
mpfconst (𝜑 → ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)

Proof of Theorem mpfconst
StepHypRef Expression
1 eqid 2761 . . . 4 ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2 eqid 2761 . . . 4 (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) = (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))
3 eqid 2761 . . . 4 (𝑆s 𝑅) = (𝑆s 𝑅)
4 mpfconst.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 eqid 2761 . . . 4 (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
6 mpfconst.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
7 mpfconst.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
8 mpfconst.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9 mpfconst.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑅)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9evlssca 19745 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) = ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}))
11 eqid 2761 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼)) = (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))
121, 2, 3, 11, 4evlsrhm 19744 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑆 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆)) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
136, 7, 8, 12syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
14 eqid 2761 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
15 eqid 2761 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼)))
1614, 15rhmf 18949 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) ∈ ((𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) RingHom (𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))))
17 ffn 6207 . . . . 5 (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅):(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))⟶(Base‘(𝑆s (𝐵𝑚 𝐼))) → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
1813, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
193subrgring 19006 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
208, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) ∈ Ring)
21 eqid 2761 . . . . . . 7 (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))
222mplring 19675 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ Ring)
232mpllmod 19674 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)) ∈ LMod)
24 eqid 2761 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
255, 21, 22, 23, 24, 14asclf 19560 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑆s 𝑅) ∈ Ring) → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
266, 20, 25syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))):(Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))⟶(Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
274subrgss 19004 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐵)
283, 4ressbas2 16154 . . . . . . . 8 (𝑅𝐵𝑅 = (Base‘(𝑆s 𝑅)))
298, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Base‘(𝑆s 𝑅)))
30 ovexd 6845 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) ∈ V)
312, 6, 30mplsca 19668 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆s 𝑅) = (Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
3231fveq2d 6358 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘(𝑆s 𝑅)) = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
3329, 32eqtrd 2795 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
349, 33eleqtrd 2842 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))))
3526, 34ffvelrnd 6525 . . . 4 (𝜑 → ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))))
36 fnfvelrn 6521 . . . 4 ((((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅) Fn (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅))) ∧ ((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))) → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
3718, 35, 36syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆s 𝑅)))‘𝑋)) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
3810, 37eqeltrrd 2841 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}) ∈ ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅))
39 mpfconst.q . 2 𝑄 = ran ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
4038, 39syl6eleqr 2851 1 (𝜑 → ((𝐵𝑚 𝐼) × {𝑋}) ∈ 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341   ⊆ wss 3716  {csn 4322   × cxp 5265  ran crn 5268   Fn wfn 6045  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↑𝑚 cmap 8026  Basecbs 16080   ↾s cress 16081  Scalarcsca 16167   ↑s cpws 16330  Ringcrg 18768  CRingccrg 18769   RingHom crh 18935  SubRingcsubrg 18999  algSccascl 19534   mPoly cmpl 19576   evalSub ces 19727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-ofr 7065  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-prds 16331  df-pws 16333  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-ghm 17880  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-srg 18727  df-ring 18770  df-cring 18771  df-rnghom 18938  df-subrg 19001  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19195  df-assa 19535  df-asp 19536  df-ascl 19537  df-psr 19579  df-mvr 19580  df-mpl 19581  df-evls 19729 This theorem is referenced by:  mzpmfp  37831
 Copyright terms: Public domain W3C validator