Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpct 39911
Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mpct.a (𝜑𝐴 ≼ ω)
mpct.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
mpct (𝜑 → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ ω)

Proof of Theorem mpct
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6801 . . 3 (𝑥 = ∅ → (𝐴𝑚 𝑥) = (𝐴𝑚 ∅))
21breq1d 4796 . 2 (𝑥 = ∅ → ((𝐴𝑚 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝑚 ∅) ≼ ω))
3 oveq2 6801 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑚 𝑥) = (𝐴𝑚 𝑦))
43breq1d 4796 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑚 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω))
5 oveq2 6801 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐴𝑚 𝑥) = (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})))
65breq1d 4796 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐴𝑚 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
7 oveq2 6801 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑚 𝑥) = (𝐴𝑚 𝐵))
87breq1d 4796 . 2 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑚 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝑚 𝐵) ≼ ω))
9 mpct.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ≼ ω)
10 ctex 8124 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
12 mapdm0 8024 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝑚 ∅) = {∅})
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑚 ∅) = {∅})
14 snfi 8194 . . . . 5 {∅} ∈ Fin
15 fict 8714 . . . . 5 ({∅} ∈ Fin → {∅} ≼ ω)
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 {∅} ≼ ω
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → {∅} ≼ ω)
1813, 17eqbrtrd 4808 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑚 ∅) ≼ ω)
19 vex 3354 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → 𝑦 ∈ V)
21 snex 5036 . . . . . 6 {𝑧} ∈ V
2221a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → {𝑧} ∈ V)
2311ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
24 eldifn 3884 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
25 disjsn 4383 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
2624, 25sylibr 224 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐵𝑦) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2726adantl 467 . . . . . 6 ((𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
2827ad2antlr 706 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
29 mapunen 8285 . . . . 5 (((𝑦 ∈ V ∧ {𝑧} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅) → (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})))
3020, 22, 23, 28, 29syl31anc 1479 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})))
31 simpr 471 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω)
32 vex 3354 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝑧 ∈ V)
3411, 33mapsnend 8188 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑚 {𝑧}) ≈ 𝐴)
35 endomtr 8167 . . . . . . 7 (((𝐴𝑚 {𝑧}) ≈ 𝐴𝐴 ≼ ω) → (𝐴𝑚 {𝑧}) ≼ ω)
3634, 9, 35syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑚 {𝑧}) ≼ ω)
3736ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → (𝐴𝑚 {𝑧}) ≼ ω)
38 xpct 9039 . . . . 5 (((𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω ∧ (𝐴𝑚 {𝑧}) ≼ ω) → ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})) ≼ ω)
3931, 37, 38syl2anc 573 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})) ≼ ω)
40 endomtr 8167 . . . 4 (((𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≈ ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})) ∧ ((𝐴𝑚 𝑦) × (𝐴𝑚 {𝑧})) ≼ ω) → (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4130, 39, 40syl2anc 573 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) ∧ (𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω) → (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω)
4241ex 397 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝐵𝑦))) → ((𝐴𝑚 𝑦) ≼ ω → (𝐴𝑚 (𝑦 ∪ {𝑧})) ≼ ω))
43 mpct.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
442, 4, 6, 8, 18, 42, 43findcard2d 8358 1 (𝜑 → (𝐴𝑚 𝐵) ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {csn 4316   class class class wbr 4786   × cxp 5247  (class class class)co 6793  ωcom 7212  𝑚 cmap 8009  cen 8106  cdom 8107  Fincfn 8109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-oi 8571  df-card 8965
This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  41367  smfmullem4  41521
  Copyright terms: Public domain W3C validator