MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  motcgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem motcgr 25652
Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismot.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m = (dist‘𝐺)
motgrp.1 (𝜑𝐺𝑉)
motcgr.a (𝜑𝐴𝑃)
motcgr.b (𝜑𝐵𝑃)
motcgr.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
Assertion
Ref Expression
motcgr (𝜑 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))

Proof of Theorem motcgr
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 motcgr.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
2 motcgr.b . 2 (𝜑𝐵𝑃)
3 motcgr.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
4 motgrp.1 . . . . 5 (𝜑𝐺𝑉)
5 ismot.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 ismot.m . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
75, 6ismot 25651 . . . . 5 (𝐺𝑉 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
84, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))))
93, 8mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐹:𝑃1-1-onto𝑃 ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏)))
109simprd 483 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏))
11 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐴))
1211oveq1d 6811 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)))
13 oveq1 6803 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 𝑏) = (𝐴 𝑏))
1412, 13eqeq12d 2786 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏) ↔ ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = (𝐴 𝑏)))
15 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐵))
1615oveq2d 6812 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)))
17 oveq2 6804 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 𝑏) = (𝐴 𝐵))
1816, 17eqeq12d 2786 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹𝐴) (𝐹𝑏)) = (𝐴 𝑏) ↔ ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵)))
1914, 18rspc2va 3473 . 2 (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ((𝐹𝑎) (𝐹𝑏)) = (𝑎 𝑏)) → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))
201, 2, 10, 19syl21anc 1475 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴) (𝐹𝐵)) = (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  distcds 16158  Ismtcismt 25648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-map 8015  df-ismt 25649
This theorem is referenced by:  motco  25656  cnvmot  25657  motcgrg  25660  motcgr3  25661
  Copyright terms: Public domain W3C validator