Theorem motcgr 25652

Description: Property of a motion: distances are preserved. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismot.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
motgrp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
motcgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
motcgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
motcgr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))

Assertion

Ref	Expression
motcgr	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem motcgr

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		motcgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		motcgr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
3		motcgr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺))
4		motgrp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		ismot.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
6		ismot.m	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
7	5, 6	ismot 25651	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐺Ismt𝐺) ↔ (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))))
9	3, 8	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑃–1-1-onto→𝑃 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏)))
10	9	simprd 483	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏))
11		fveq2 6333	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝐴))
12	11	oveq1d 6811	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)))
13		oveq1 6803	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 − 𝑏) = (𝐴 − 𝑏))
14	12, 13	eqeq12d 2786	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = (𝐴 − 𝑏)))
15		fveq2 6333	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝐵))
16	15	oveq2d 6812	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)))
17		oveq2 6804	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 − 𝑏) = (𝐴 − 𝐵))
18	16, 17	eqeq12d 2786	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑏)) = (𝐴 − 𝑏) ↔ ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵)))
19	14, 18	rspc2va 3473	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐹‘𝑎) − (𝐹‘𝑏)) = (𝑎 − 𝑏)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
20	1, 2, 10, 19	syl21anc 1475	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  –1-1-onto→wf1o 6029  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  distcds 16158  Ismtcismt 25648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-map 8015  df-ismt 25649

This theorem is referenced by:  motco  25656  cnvmot  25657  motcgrg  25660  motcgr3  25661