Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopni 22517
 Description: An open set of a metric space includes a ball around each of its points. (Contributed by NM, 3-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopni ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋

Proof of Theorem mopni
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21elmopn 22467 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐽 ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∀𝑦𝐴𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑥𝑥𝐴))))
32simplbda 487 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) → ∀𝑦𝐴𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑥𝑥𝐴))
4 eleq1 2838 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑃 → (𝑦𝑥𝑃𝑥))
54anbi1d 615 . . . . 5 (𝑦 = 𝑃 → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ (𝑃𝑥𝑥𝐴)))
65rexbidv 3200 . . . 4 (𝑦 = 𝑃 → (∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑥𝑥𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴)))
76rspccv 3457 . . 3 (∀𝑦𝐴𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑥𝑥𝐴) → (𝑃𝐴 → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴)))
83, 7syl 17 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽) → (𝑃𝐴 → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴)))
983impia 1109 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝐽𝑃𝐴) → ∃𝑥 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑃𝑥𝑥𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3723  ran crn 5250  ‘cfv 6031  ∞Metcxmt 19946  ballcbl 19948  MetOpencmopn 19951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-bases 20971 This theorem is referenced by:  mopni2  22518
 Copyright terms: Public domain W3C validator