Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  monotuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem monotuz 37823
Description: A function defined on an upper set of integers which increases at every adjacent pair is globally strictly monotonic by induction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
monotuz.1 ((𝜑𝑦𝐻) → 𝐹 < 𝐺)
monotuz.2 ((𝜑𝑥𝐻) → 𝐶 ∈ ℝ)
monotuz.3 𝐻 = (ℤ𝐼)
monotuz.4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → 𝐶 = 𝐺)
monotuz.5 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝐹)
monotuz.6 (𝑥 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
monotuz.7 (𝑥 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
monotuz ((𝜑 ∧ (𝐴𝐻𝐵𝐻)) → (𝐴 < 𝐵𝐷 < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐼(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem monotuz
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1 3569 . . 3 (𝑎 = 𝑏𝑎 / 𝑥𝐶 = 𝑏 / 𝑥𝐶)
2 csbeq1 3569 . . 3 (𝑎 = 𝐴𝑎 / 𝑥𝐶 = 𝐴 / 𝑥𝐶)
3 csbeq1 3569 . . 3 (𝑎 = 𝐵𝑎 / 𝑥𝐶 = 𝐵 / 𝑥𝐶)
4 monotuz.3 . . . 4 𝐻 = (ℤ𝐼)
5 uzssz 11745 . . . . 5 (ℤ𝐼) ⊆ ℤ
6 zssre 11422 . . . . 5 ℤ ⊆ ℝ
75, 6sstri 3645 . . . 4 (ℤ𝐼) ⊆ ℝ
84, 7eqsstri 3668 . . 3 𝐻 ⊆ ℝ
9 nfv 1883 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑎𝐻)
10 nfcsb1v 3582 . . . . . 6 𝑥𝑎 / 𝑥𝐶
1110nfel1 2808 . . . . 5 𝑥𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ
129, 11nfim 1865 . . . 4 𝑥((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
13 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝐻𝑎𝐻))
1413anbi2d 740 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥𝐻) ↔ (𝜑𝑎𝐻)))
15 csbeq1a 3575 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎𝐶 = 𝑎 / 𝑥𝐶)
1615eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ))
1714, 16imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥𝐻) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)))
18 monotuz.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐻) → 𝐶 ∈ ℝ)
1912, 17, 18chvar 2298 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
20 simpl 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝜑𝑎𝐻))
2120adantlrr 757 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → (𝜑𝑎𝐻))
224, 5eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝐻 ⊆ ℤ
23 simplrl 817 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎𝐻)
2422, 23sseldi 3634 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 ∈ ℤ)
25 simplrr 818 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏𝐻)
2622, 25sseldi 3634 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑏 ∈ ℤ)
27 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 < 𝑏)
28 csbeq1 3569 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑎 + 1) → 𝑐 / 𝑥𝐶 = (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶)
2928breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑎 + 1) → (𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶))
3029imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑎 + 1) → (((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶)))
31 csbeq1 3569 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑𝑐 / 𝑥𝐶 = 𝑑 / 𝑥𝐶)
3231breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶))
3332imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → (((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶)))
34 csbeq1 3569 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑑 + 1) → 𝑐 / 𝑥𝐶 = (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
3534breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑑 + 1) → (𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶))
3635imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑑 + 1) → (((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)))
37 csbeq1 3569 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑏𝑐 / 𝑥𝐶 = 𝑏 / 𝑥𝐶)
3837breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 → (𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶))
3938imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑏 → (((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑐 / 𝑥𝐶) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶)))
40 eleq1 2718 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝐻𝑎𝐻))
4140anbi2d 740 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → ((𝜑𝑦𝐻) ↔ (𝜑𝑎𝐻)))
42 vex 3234 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
43 monotuz.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝐹)
4442, 43csbie 3592 . . . . . . . . . . 11 𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝐹
45 csbeq1 3569 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝑎 / 𝑥𝐶)
4644, 45syl5eqr 2699 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎𝐹 = 𝑎 / 𝑥𝐶)
47 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 + 1) ∈ V
48 monotuz.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 + 1) → 𝐶 = 𝐺)
4947, 48csbie 3592 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 + 1) / 𝑥𝐶 = 𝐺
50 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 + 1) = (𝑎 + 1))
5150csbeq1d 3573 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎(𝑦 + 1) / 𝑥𝐶 = (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶)
5249, 51syl5eqr 2699 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎𝐺 = (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶)
5346, 52breq12d 4698 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝐹 < 𝐺𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶))
5441, 53imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑𝑦𝐻) → 𝐹 < 𝐺) ↔ ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶)))
55 monotuz.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐻) → 𝐹 < 𝐺)
5654, 55vtoclg 3297 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ → ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑎 + 1) / 𝑥𝐶))
57193ad2ant2 1103 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
58 simp2l 1107 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝜑)
59 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
60593ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → 𝑎 ∈ ℝ)
61 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℝ)
62613ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ)
63 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → 𝑎 < 𝑑)
6460, 62, 63ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → 𝑎𝑑)
65643ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎𝑑)
66 simp11 1111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎 ∈ ℤ)
67 simp12 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑 ∈ ℤ)
68 eluz 11739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑑 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑑))
6966, 67, 68syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → (𝑑 ∈ (ℤ𝑎) ↔ 𝑎𝑑))
7065, 69mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑 ∈ (ℤ𝑎))
71 simp2r 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎𝐻)
7271, 4syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎 ∈ (ℤ𝐼))
73 uztrn 11742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (ℤ𝑎) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ𝐼)) → 𝑑 ∈ (ℤ𝐼))
7470, 72, 73syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑 ∈ (ℤ𝐼))
7574, 4syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑𝐻)
76 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑𝑑𝐻)
77 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑑 / 𝑥𝐶
7877nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ
7976, 78nfim 1865 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
80 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑑 → (𝑥𝐻𝑑𝐻))
8180anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑑 → ((𝜑𝑥𝐻) ↔ (𝜑𝑑𝐻)))
82 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑑𝐶 = 𝑑 / 𝑥𝐶)
8382eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑑 → (𝐶 ∈ ℝ ↔ 𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ))
8481, 83imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑑 → (((𝜑𝑥𝐻) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)))
8579, 84, 18chvar 2298 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
8658, 75, 85syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑 / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
87 peano2uz 11779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (ℤ𝐼) → (𝑑 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
8874, 87syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → (𝑑 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
8988, 4syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → (𝑑 + 1) ∈ 𝐻)
90 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑 ∧ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻)
91 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝑑 + 1) / 𝑥𝐶
9291nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ
9390, 92nfim 1865 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑 ∧ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻) → (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
94 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 + 1) ∈ V
95 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (𝑥𝐻 ↔ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻))
9695anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝜑𝑥𝐻) ↔ (𝜑 ∧ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻)))
97 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑑 + 1) → 𝐶 = (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
9897eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ))
9996, 98imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((𝜑𝑥𝐻) → 𝐶 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻) → (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)))
10093, 94, 99, 18vtoclf 3289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑 + 1) ∈ 𝐻) → (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
10158, 89, 100syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶 ∈ ℝ)
102 simp3 1083 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶)
103 nfv 1883 . . . . . . . . . . . 12 𝑦((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
104 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦𝐻𝑑𝐻))
105104anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑑 → ((𝜑𝑦𝐻) ↔ (𝜑𝑑𝐻)))
106 csbeq1 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑑𝑦 / 𝑥𝐶 = 𝑑 / 𝑥𝐶)
10744, 106syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑑𝐹 = 𝑑 / 𝑥𝐶)
108 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 + 1) = (𝑑 + 1))
109108csbeq1d 3573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑑(𝑦 + 1) / 𝑥𝐶 = (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
11049, 109syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑑𝐺 = (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
111107, 110breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑑 → (𝐹 < 𝐺𝑑 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶))
112105, 111imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑑 → (((𝜑𝑦𝐻) → 𝐹 < 𝐺) ↔ ((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)))
113103, 112, 55chvar 2298 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑑𝐻) → 𝑑 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
11458, 75, 113syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑑 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
11557, 86, 101, 102, 114lttrd 10236 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) ∧ (𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)
1161153exp 1283 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)))
117116a2d 29 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑑) → (((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑑 / 𝑥𝐶) → ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < (𝑑 + 1) / 𝑥𝐶)))
11830, 33, 36, 39, 56, 117uzind2 11508 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶))
11924, 26, 27, 118syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶))
12021, 119mpd 15 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) ∧ 𝑎 < 𝑏) → 𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶)
121120ex 449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐻𝑏𝐻)) → (𝑎 < 𝑏𝑎 / 𝑥𝐶 < 𝑏 / 𝑥𝐶))
1221, 2, 3, 8, 19, 121ltord1 10592 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐻𝐵𝐻)) → (𝐴 < 𝐵𝐴 / 𝑥𝐶 < 𝐵 / 𝑥𝐶))
123 nfcvd 2794 . . . . 5 (𝐴𝐻𝑥𝐷)
124 monotuz.6 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝐶 = 𝐷)
125123, 124csbiegf 3590 . . . 4 (𝐴𝐻𝐴 / 𝑥𝐶 = 𝐷)
126 nfcvd 2794 . . . . 5 (𝐵𝐻𝑥𝐸)
127 monotuz.7 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵𝐶 = 𝐸)
128126, 127csbiegf 3590 . . . 4 (𝐵𝐻𝐵 / 𝑥𝐶 = 𝐸)
129125, 128breqan12d 4701 . . 3 ((𝐴𝐻𝐵𝐻) → (𝐴 / 𝑥𝐶 < 𝐵 / 𝑥𝐶𝐷 < 𝐸))
130129adantl 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐻𝐵𝐻)) → (𝐴 / 𝑥𝐶 < 𝐵 / 𝑥𝐶𝐷 < 𝐸))
131122, 130bitrd 268 1 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐻𝐵𝐻)) → (𝐴 < 𝐵𝐷 < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  csb 3566   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cz 11415  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  ltrmynn0  37832  ltrmxnn0  37833
  Copyright terms: Public domain W3C validator