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Theorem monoord2xrv 40129
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2xrv.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoord2xrv.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xrv.l ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
monoord2xrv (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2xrv
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2xrv.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 monoord2xrv.x . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
32xnegcld 12244 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝑒(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
4 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))
53, 4fmptd 6500 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ*)
65ffvelrnda 6474 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ*)
7 monoord2xrv.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
87ralrimiva 3068 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
9 oveq1 6772 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + 1) = (𝑛 + 1))
109fveq2d 6308 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
11 fveq2 6304 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
1210, 11breq12d 4773 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛)))
1312cbvralv 3274 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
148, 13sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
1514r19.21bi 3034 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
16 fzp1elp1 12508 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
1716adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
18 eluzelz 11810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2019zcnd 11596 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
21 ax-1cn 10107 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
22 npcan 10403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2320, 21, 22sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2423oveq2d 6781 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2524adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2617, 25eleqtrd 2805 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
272ralrimiva 3068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
2827adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
29 fveq2 6304 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
3029eleq1d 2788 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
3130rspcv 3409 . . . . . . . 8 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
3226, 28, 31sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
33 fzssp1 12498 . . . . . . . . . 10 (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
3433, 24syl5sseq 3759 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
3534sselda 3709 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
3611eleq1d 2788 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
3736rspcv 3409 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
3835, 28, 37sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*)
39 xleneg 12163 . . . . . . 7 (((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛) ↔ -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
4032, 38, 39syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛) ↔ -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
4115, 40mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4211xnegeqd 40079 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑛))
43 xnegex 12153 . . . . . . 7 -𝑒(𝐹𝑛) ∈ V
4442, 4, 43fvmpt 6396 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹𝑛))
4535, 44syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹𝑛))
4629xnegeqd 40079 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
47 xnegex 12153 . . . . . . 7 -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
4846, 4, 47fvmpt 6396 . . . . . 6 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4926, 48syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
5041, 45, 493brtr4d 4792 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)))
511, 6, 50monoordxrv 40127 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁))
52 eluzfz1 12462 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
531, 52syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
54 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
5554xnegeqd 40079 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑀))
56 xnegex 12153 . . . . 5 -𝑒(𝐹𝑀) ∈ V
5755, 4, 56fvmpt 6396 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹𝑀))
5853, 57syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹𝑀))
59 eluzfz2 12463 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
601, 59syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
61 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
6261xnegeqd 40079 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑁))
63 xnegex 12153 . . . . 5 -𝑒(𝐹𝑁) ∈ V
6462, 4, 63fvmpt 6396 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹𝑁))
6560, 64syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹𝑁))
6651, 58, 653brtr3d 4791 . 2 (𝜑 → -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁))
6761eleq1d 2788 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ*))
6867rspcv 3409 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑁) ∈ ℝ*))
6960, 27, 68sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ*)
7054eleq1d 2788 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
7170rspcv 3409 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
7253, 27, 71sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
73 xleneg 12163 . . 3 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀) ↔ -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁)))
7469, 72, 73syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀) ↔ -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁)))
7566, 74mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014   class class class wbr 4760  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  1c1 10050   + caddc 10052  *cxr 10186  cle 10188  cmin 10379  cz 11490  cuz 11800  -𝑒cxne 12057  ...cfz 12440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-xneg 12060  df-fz 12441
This theorem is referenced by:  monoord2xr  40130
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