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Theorem monmat2matmon 20752
Description: The transformation of a polynomial matrix having scaled monomials with the same power as entries into a scaled monomial as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 11-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
monmat2matmon.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
monmat2matmon.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
monmat2matmon.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
monmat2matmon.m1 = ( ·𝑠𝑄)
monmat2matmon.e1 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
monmat2matmon.x 𝑋 = (var1𝐴)
monmat2matmon.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
monmat2matmon.k 𝐾 = (Base‘𝐴)
monmat2matmon.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
monmat2matmon.i 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
monmat2matmon.e2 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
monmat2matmon.y 𝑌 = (var1𝑅)
monmat2matmon.m2 · = ( ·𝑠𝐶)
monmat2matmon.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
monmat2matmon (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀))) = (𝑀 (𝐿 𝑋)))

Proof of Theorem monmat2matmon
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 18679 . . 3 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 simpll 807 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
3 simplr 809 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
4 monmat2matmon.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5 monmat2matmon.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐴)
6 monmat2matmon.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
7 monmat2matmon.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
8 monmat2matmon.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
9 monmat2matmon.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
10 monmat2matmon.m2 . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐶)
11 monmat2matmon.e2 . . . . 5 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12 monmat2matmon.y . . . . 5 𝑌 = (var1𝑅)
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12mat2pmatscmxcl 20668 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) ∈ 𝐵)
14 monmat2matmon.m1 . . . . 5 = ( ·𝑠𝑄)
15 monmat2matmon.e1 . . . . 5 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
16 monmat2matmon.x . . . . 5 𝑋 = (var1𝐴)
17 monmat2matmon.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1𝐴)
18 monmat2matmon.i . . . . 5 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
197, 8, 9, 14, 15, 16, 4, 17, 18pm2mpfval 20724 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) ∈ 𝐵) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
202, 3, 13, 19syl3anc 1439 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
211, 20sylanl2 686 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
22 simpll 807 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
23 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0))
2423anim1i 593 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
25 df-3an 1074 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) ↔ ((𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
2624, 25sylibr 224 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0))
27 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (0g𝐴) = (0g𝐴)
287, 8, 4, 5, 27, 11, 12, 10, 6monmatcollpw 20707 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)) → (((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)))
2922, 26, 28syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) = if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)))
3029oveq1d 6780 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) = (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)))
311a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring))
3231anim2d 590 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring)))
3332anim1d 589 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0))))
3433imdistanri 729 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0))
35 ovif 6854 . . . . . . . 8 (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), ((0g𝐴) (𝑘 𝑋)))
364matring 20372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
3717ply1sca 19746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
3938ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
4039fveq2d 6308 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0g𝐴) = (0g‘(Scalar‘𝑄)))
4140oveq1d 6780 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g𝐴) (𝑘 𝑋)) = ((0g‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)))
4217ply1lmod 19745 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
4336, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
4443ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 ∈ LMod)
4517ply1ring 19741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
4636, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
47 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
4847ringmgp 18674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
5049ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
51 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
52 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
5316, 17, 52vr1cl 19710 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
5436, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
5554ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑄))
5647, 52mgpbas 18616 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑄) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
5756, 15mulgnn0cl 17680 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑄)) → (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
5850, 51, 55, 57syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
59 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
60 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (0g‘(Scalar‘𝑄)) = (0g‘(Scalar‘𝑄))
61 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑄) = (0g𝑄)
6252, 59, 14, 60, 61lmod0vs 19019 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄 ∈ LMod ∧ (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑄))
6344, 58, 62syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g‘(Scalar‘𝑄)) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑄))
6441, 63eqtrd 2758 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((0g𝐴) (𝑘 𝑋)) = (0g𝑄))
6564ifeq2d 4213 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), ((0g𝐴) (𝑘 𝑋))) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))
6635, 65syl5eq 2770 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))
6734, 66syl 17 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 𝐿, 𝑀, (0g𝐴)) (𝑘 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))
6830, 67eqtrd 2758 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) = if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))
6968mpteq2dva 4852 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄))))
7069oveq2d 6781 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))))
71 ringmnd 18677 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Mnd)
7246, 71syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Mnd)
7372adantr 472 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑄 ∈ Mnd)
74 nn0ex 11411 . . . . . 6 0 ∈ V
7574a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → ℕ0 ∈ V)
76 simprr 813 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
77 eqid 2724 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))
7838fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝐴) = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
795, 78syl5eq 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑄)))
8079eleq2d 2789 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑀𝐾𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
8180biimpcd 239 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐾 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
8281adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄))))
8382impcom 445 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
8483adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
85 eqid 2724 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
8652, 59, 14, 85lmodvscl 19003 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ LMod ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑘 𝑋) ∈ (Base‘𝑄)) → (𝑀 (𝑘 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
8744, 84, 58, 86syl3anc 1439 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 (𝑘 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
8887ralrimiva 3068 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑀 (𝑘 𝑋)) ∈ (Base‘𝑄))
8961, 73, 75, 76, 77, 88gsummpt1n0 18485 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))) = 𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)))
901, 89sylanl2 686 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 𝐿, (𝑀 (𝑘 𝑋)), (0g𝑄)))) = 𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)))
9170, 90eqtrd 2758 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀)) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) = 𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)))
92 csbov2g 6806 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)) = (𝑀 𝐿 / 𝑘(𝑘 𝑋)))
93 csbov1g 6805 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 / 𝑘(𝑘 𝑋) = (𝐿 / 𝑘𝑘 𝑋))
94 csbvarg 4111 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 / 𝑘𝑘 = 𝐿)
9594oveq1d 6780 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝐿 / 𝑘𝑘 𝑋) = (𝐿 𝑋))
9693, 95eqtrd 2758 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 / 𝑘(𝑘 𝑋) = (𝐿 𝑋))
9796oveq2d 6781 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 𝐿 / 𝑘(𝑘 𝑋)) = (𝑀 (𝐿 𝑋)))
9892, 97eqtrd 2758 . . 3 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)) = (𝑀 (𝐿 𝑋)))
9998ad2antll 767 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐿 / 𝑘(𝑀 (𝑘 𝑋)) = (𝑀 (𝐿 𝑋)))
10021, 91, 993eqtrd 2762 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀𝐾𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐼‘((𝐿𝐸𝑌) · (𝑇𝑀))) = (𝑀 (𝐿 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  csb 3639  ifcif 4194  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  0cn0 11405  Basecbs 15980  Scalarcsca 16067   ·𝑠 cvsca 16068  0gc0g 16223   Σg cgsu 16224  Mndcmnd 17416  .gcmg 17662  mulGrpcmgp 18610  Ringcrg 18668  CRingccrg 18669  LModclmod 18986  var1cv1 19669  Poly1cpl1 19670   Mat cmat 20336   matToPolyMat cmat2pmat 20632   decompPMat cdecpmat 20690   pMatToMatPoly cpm2mp 20720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-ot 4294  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-ofr 7015  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-sup 8464  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-hash 13233  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-hom 16089  df-cco 16090  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-prds 16231  df-pws 16233  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-mulg 17663  df-subg 17713  df-ghm 17780  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-subrg 18901  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-assa 19435  df-ascl 19437  df-psr 19479  df-mvr 19480  df-mpl 19481  df-opsr 19483  df-psr1 19673  df-vr1 19674  df-ply1 19675  df-coe1 19676  df-dsmm 20199  df-frlm 20214  df-mamu 20313  df-mat 20337  df-mat2pmat 20635  df-decpmat 20691  df-pm2mp 20721
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