Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mon1psubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mon1psubm 38101
 Description: Monic polynomials are a multiplicative submonoid. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mon1psubm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mon1psubm.m 𝑀 = (Monic1p𝑅)
mon1psubm.u 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mon1psubm (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))

Proof of Theorem mon1psubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mon1psubm.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
3 mon1psubm.m . . . . 5 𝑀 = (Monic1p𝑅)
41, 2, 3mon1pcl 23949 . . . 4 (𝑥𝑀𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
54ssriv 3640 . . 3 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃)
65a1i 11 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ⊆ (Base‘𝑃))
7 eqid 2651 . . . 4 (1r𝑃) = (1r𝑃)
8 eqid 2651 . . . 4 ( deg1𝑅) = ( deg1𝑅)
91, 7, 3, 8mon1pid 38100 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → ((1r𝑃) ∈ 𝑀 ∧ (( deg1𝑅)‘(1r𝑃)) = 0))
109simpld 474 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑃) ∈ 𝑀)
111ply1nz 23926 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
12 nzrring 19309 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑃 ∈ Ring)
154ad2antrl 764 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
16 simprr 811 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑦𝑀)
175, 16sseldi 3634 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
18 eqid 2651 . . . . . 6 (.r𝑃) = (.r𝑃)
192, 18ringcl 18607 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
2014, 15, 17, 19syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃))
21 eqid 2651 . . . . . . 7 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
22 eqid 2651 . . . . . . 7 (0g𝑃) = (0g𝑃)
23 nzrring 19309 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑅 ∈ Ring)
251, 22, 3mon1pn0 23951 . . . . . . . 8 (𝑥𝑀𝑥 ≠ (0g𝑃))
2625ad2antrl 764 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑥 ≠ (0g𝑃))
27 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
288, 27, 3mon1pldg 23954 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑀 → ((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥)) = (1r𝑅))
2928ad2antrl 764 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥)) = (1r𝑅))
30 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3121, 30unitrrg 19341 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
3223, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
3330, 271unit 18704 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
3423, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
3532, 34sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
3635adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (1r𝑅) ∈ (RLReg‘𝑅))
3729, 36eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥)) ∈ (RLReg‘𝑅))
381, 22, 3mon1pn0 23951 . . . . . . . 8 (𝑦𝑀𝑦 ≠ (0g𝑃))
3938ad2antll 765 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → 𝑦 ≠ (0g𝑃))
408, 1, 21, 2, 18, 22, 24, 15, 26, 37, 17, 39deg1mul2 23919 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) = ((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦)))
418, 1, 22, 2deg1nn0cl 23893 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
4224, 15, 26, 41syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (( deg1𝑅)‘𝑥) ∈ ℕ0)
438, 1, 22, 2deg1nn0cl 23893 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑃)) → (( deg1𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
4424, 17, 39, 43syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (( deg1𝑅)‘𝑦) ∈ ℕ0)
4542, 44nn0addcld 11393 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦)) ∈ ℕ0)
4640, 45eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0)
478, 1, 22, 2deg1nn0clb 23895 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ↔ (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
4824, 20, 47syl2anc 694 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ↔ (( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦)) ∈ ℕ0))
4946, 48mpbird 247 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃))
5040fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘(( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))) = ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦))))
51 eqid 2651 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
521, 18, 51, 2, 8, 22, 24, 15, 26, 17, 39coe1mul4 23905 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦))) = (((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥))(.r𝑅)((coe1𝑦)‘(( deg1𝑅)‘𝑦))))
538, 27, 3mon1pldg 23954 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑀 → ((coe1𝑦)‘(( deg1𝑅)‘𝑦)) = (1r𝑅))
5453ad2antll 765 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1𝑦)‘(( deg1𝑅)‘𝑦)) = (1r𝑅))
5529, 54oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥))(.r𝑅)((coe1𝑦)‘(( deg1𝑅)‘𝑦))) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)))
56 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5756, 27ringidcl 18614 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5823, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5956, 51, 27ringlidm 18617 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6023, 58, 59syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6160adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(1r𝑅)) = (1r𝑅))
6255, 61eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (((coe1𝑥)‘(( deg1𝑅)‘𝑥))(.r𝑅)((coe1𝑦)‘(( deg1𝑅)‘𝑦))) = (1r𝑅))
6352, 62eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘((( deg1𝑅)‘𝑥) + (( deg1𝑅)‘𝑦))) = (1r𝑅))
6450, 63eqtrd 2685 . . . 4 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘(( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))) = (1r𝑅))
651, 2, 22, 8, 3, 27ismon1p 23947 . . . 4 ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀 ↔ ((𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑥(.r𝑃)𝑦) ≠ (0g𝑃) ∧ ((coe1‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))‘(( deg1𝑅)‘(𝑥(.r𝑃)𝑦))) = (1r𝑅)))
6620, 49, 64, 65syl3anbrc 1265 . . 3 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑀)) → (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
6766ralrimivva 3000 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → ∀𝑥𝑀𝑦𝑀 (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)
68 mon1psubm.u . . . . 5 𝑈 = (mulGrp‘𝑃)
6968ringmgp 18599 . . . 4 (𝑃 ∈ Ring → 𝑈 ∈ Mnd)
7013, 69syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑈 ∈ Mnd)
7168, 2mgpbas 18541 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑈)
7268, 7ringidval 18549 . . . 4 (1r𝑃) = (0g𝑈)
7368, 18mgpplusg 18539 . . . 4 (.r𝑃) = (+g𝑈)
7471, 72, 73issubm 17394 . . 3 (𝑈 ∈ Mnd → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥𝑀𝑦𝑀 (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
7570, 74syl 17 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → (𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈) ↔ (𝑀 ⊆ (Base‘𝑃) ∧ (1r𝑃) ∈ 𝑀 ∧ ∀𝑥𝑀𝑦𝑀 (𝑥(.r𝑃)𝑦) ∈ 𝑀)))
766, 10, 67, 75mpbir3and 1264 1 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑀 ∈ (SubMnd‘𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974   + caddc 9977  ℕ0cn0 11330  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  Mndcmnd 17341  SubMndcsubmnd 17381  mulGrpcmgp 18535  1rcur 18547  Ringcrg 18593  Unitcui 18685  NzRingcnzr 19305  RLRegcrlreg 19327  Poly1cpl1 19595  coe1cco1 19596   deg1 cdg1 23859  Monic1pcmn1 23930 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-nzr 19306  df-rlreg 19331  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mvr 19405  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-vr1 19599  df-ply1 19600  df-coe1 19601  df-cnfld 19795  df-mdeg 23860  df-deg1 23861  df-mon1 23935 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator