Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modremain Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modremain 15340
 Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
modremain ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅

Proof of Theorem modremain
StepHypRef Expression
1 eqcom 2778 . 2 ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
2 divalgmodcl 15339 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
323adant3r 1195 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
4 ibar 518 . . . . 5 (𝑅 < 𝐷 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
54adantl 467 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
653ad2ant3 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
7 nnz 11601 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
873ad2ant2 1128 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
9 simp1 1130 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 nn0z 11602 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
1110adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℤ)
12113ad2ant3 1129 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℤ)
139, 12zsubcld 11689 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑁𝑅) ∈ ℤ)
14 divides 15191 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑅) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅)))
158, 13, 14syl2anc 573 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅)))
16 eqcom 2778 . . . . . 6 ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ (𝑁𝑅) = (𝑧 · 𝐷))
17 zcn 11584 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
18173ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1918adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
20 nn0cn 11504 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℂ)
2120adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℂ)
22213ad2ant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℂ)
2322adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
24 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
258adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
2624, 25zmulcld 11690 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℤ)
2726zcnd 11685 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℂ)
2819, 23, 27subadd2d 10613 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑅) = (𝑧 · 𝐷) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
2916, 28syl5bb 272 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
3029rexbidva 3197 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
3115, 30bitrd 268 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
323, 6, 313bitr2d 296 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
331, 32syl5bb 272 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  ℂcc 10136   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276   − cmin 10468  ℕcn 11222  ℕ0cn0 11494  ℤcz 11579   mod cmo 12876   ∥ cdvds 15189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190 This theorem is referenced by:  mod42tp1mod8  42047
 Copyright terms: Public domain W3C validator